31.14 ベクトルの初歩（内積の利用 図形の証明）

内積を利用しての図形の証明を紹介します。

※ ベクトルは平面上または空間内です。

例１（長さに関する証明）

三角形△ABCにおいて、BCの中点をMとする。このとき、次の等式が成り立ちます。（中線定理 または パップスの定理）

※ この定理については、平面の幾何および図形と方程式でも扱いました。

幾何にとって大切な定理をベクトルを用いて証明してみます。
このとき平面図形なので、平行でない２つのベクトルを考えます。

その２つのベクトルを考えるために基準とする点を定めるのですが、どの点を基準にしますか。どの点でも証明できそうですが、式の形をみると頂点Aを基準とするのが自然に思います。

そこで、平行でない２つのベクトルを$${\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \: \overrightarrow{\mathrm{AC}}}$$とすると

　　　　$${\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\dfrac{1}{\:2\:}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}), \:\: \overrightarrow{\mathrm{BM}}=\dfrac{1}{\:2\:}\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\dfrac{1}{\:2\:}(-\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}})}$$

と表すことができます。次に、左辺と右辺を比べると右辺の方が複雑に見えるので、右辺をいじってみます。

　$${2(\text{AM}^2+\text{BM}^2)}$$
$${=2(|\overrightarrow{\mathrm{AM}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{BM}}|^2)}$$

$${=2(|\dfrac{1}{\:2\:}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}})|^2+|\dfrac{1}{\:2\:}(-\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}})|^2)}$$

$${=2\Big(\dfrac{1}{\:4\:}(|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2+2\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}+|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2)+\dfrac{1}{\:4\:}(|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2-2\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}+|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2)\Big)}$$

$${=2(\dfrac{1}{\:2\:}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2+\dfrac{1}{\:2\:}|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2)}$$

$${=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2}$$
$${=\text{AB}^2+\text{AC}^2.}$$ ▮

※ 平面の幾何や図形と方程式と比べてどうでしょうか。単純なベクトル計算だけで済みました。証明を少し工夫して
$${\vec{b}:=\overrightarrow{\mathrm{AB}},\:\vec{c}:=\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$$とすれば、スッキリするように思います。

例２（垂直に関する証明）

正四面体ABCDにおいて、AB⊥CDが成り立ちます。このことをベクトルを用いて証明しようと思いますが、31.6で空間図形を扱ったように初等幾何的に証明することもできます。そこで、前半はベクトルでの証明を、後半に初等的な証明をしてみます。

※ 「初等」というのは「やさしい」という意味ではありません。初等教育にひっぱられて「初歩」の意味に捉えられがちです(※1)。

ベクトルを用いた証明

立体図形なので同一平面上にない３つのベクトルを考えます。そこで始点を１つ固定して考えますが、ここでは頂点Aを基準とした３つのベクトル$${\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \: \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \: \overrightarrow{\mathrm{AD}}}$$を考えることにします。

AB⊥CDを示したいので、$${\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}=0}$$であることが示せればよいと分かります。この式の左辺をいじってみます。

$${\overrightarrow{\mathrm{CD}}=-\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}}$$より

　　　　　　　　　　　$${\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}}$$
　　　　　　　　　　　$${=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot(-\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}})}$$
　　　　　　　　　　　$${=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}.}$$

ここで、$${\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \: \overrightarrow{\mathrm{AC}}}$$および$${\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \: \overrightarrow{\mathrm{AD}}}$$の成す角はどちらも正三角形の１つの角なので等しく、$${|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|}$$なので

　　　　　　　　　　　　$${\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}}$$

となります。したがって

　　　　　　　　　　　$${-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}=0.}$$

つまり

　　　　　　　　　　　　　　$${\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}=0}$$

であることが示せました。よって　AB⊥CD. ▮