2003年 日本数学オリンピック本選 第３問 解答例
$${k}$$は実数であり、$${a^2 > bc}$$をみたすいかなる正の数$${a, b, c}$$に対しても、
$${(a^2-bc)^2 > k(b^2-ca)(c^2-ab)}$$
が成立するという。
このような$${k}$$のうち最大のものを求めよ。
考え方：
両辺を$${a^4}$$で割ることにより文字を減らすことができます。
つまり、$${b' =b/a, c' = c/a}$$とおくと
$${(1-b'c')^2 > k(b'^2-c')(c'^2-b')}$$
に変化します。$${(b'^2-c')(c'^2-b')}$$が0以下のとき$${k}$$はいくらでも大きくできますから、
$${(b'^2-c')(c'^2-b')}$$は正の時のみ考えればよいです。
よって、$${\frac{(1-b'c')^2}{(b'^2-c')(c'^2-b')} > k}$$と書き換えられます。
左辺がどのようなときに最も小さくなるかを考えます。
これは$${b', c'}$$の対称式ですから、$${b'+c'}$$と$${b'c'}$$で表せます。
これらを改めて２つの独立した変数と考えると、
$${1 > b'c' > 0}$$, $${b'+c' \geqq 2\sqrt{b'c'}}$$がその取りうる範囲だとわかります。
$${b' + c'}$$が小さいほど左辺は小さくなりますから、
$${b' + c' = 2\sqrt{b'c'}}$$すなわち$${b'=c'}$$として考えて良さそうです。
この条件で$${b'c' (= b'^2)}$$を動かして、左辺の値の下限を探していきましょう。
そこで得られた結果を数学的に正しく表現すれば解答になります。
解答例：
$${b' =b/a, c' = c/a}$$とおくと$${1 > b'c' ( > 0) }$$である。
このとき、元の式は
$${(1-b'c')^2 > k(b'^2-c')(c'^2-b')}$$
と書き換えられるので、これを常に満たす$${k}$$のうち最大のものを求める。
$${(b'^2-c')(c'^2-b')}$$が$${0}$$以下の時、$${k}$$は任意の正の数としてよい。
よって、以下$${(b'^2-c')(c'^2-b')}$$が正の場合を考える。
$$
(1-b'c')^2 > 4(b'^2 -c')(c'^2 -b')
$$
を示す。これは、
$$
\begin{align*}
(1-b'c')^2 - 4(b'^2 -c')(c'^2 -b') &= 4b'^3 + 4c'^3 -3b'^2c'^2 - 6b'c' + 1 \\&\geqq 8b'^{\frac{3}{2}} c'^{\frac{3}{2}} -3b'^2c'^2 - 6b'c' + 1 \\& = (1-b'^{\frac{1}{2}}c'^{\frac{1}{2}})^3(1+3b'^{\frac{1}{2}}c'^{\frac{1}{2}})\\& > 0
\end{align*}
$$
より示される。１行目から２行目の変形で相加相乗平均を用いた。
よって、$${k \geqq 4}$$である。
一方、$${c' = b'}$$のとき、$${1 > b'c'}$$から$${b' <1}$$であり、
$$
\begin{align*}
\frac{(1-b'c')^2}{(b'^2-c')(c'^2-b')} &= \frac{(1-b'^2)^2}{b'^2(1-b')^2} \\
& =\frac{(1+b')^2}{b'^2}\\
&= 1 + \frac{2}{b'} + \frac{1}{b'^2}
\end{align*}
$$
となるが、この値は$${b'}$$を$${1}$$に限りなく近づけることで$${4}$$に限りなく近づけることができる*。
よって、$${k\leqq 4}$$である。
以上より、$${k=4}$$となる。
コメント：
*厳密に示すなら例えば以下のようになります。
極限の取り扱いなので、高校数学レベルを前提としている数学オリンピックにおいては、
ここまで厳密な議論は必要ないように思います。
(数学的に本質でない適切な代入を探すことになるため。
これを探す時間があったら他の問題を解いた方が良いと思います。)
$${k > 4}$$のとき、正の数$${\epsilon}$$を用いて$${k=4+\epsilon}$$と置ける。
$${1>b'>0}$$である任意の$${b'}$$に対して
$$
1 + \frac{2}{b'} + \frac{1}{b'^2} > 4 + \epsilon
$$
が成り立つことが条件となる。
しかし、左辺に$${b' = 1 - \frac{\epsilon}{2\epsilon+3}}$$を代入すると、
$$
\begin{align*}
1 + \frac{2}{b'} + \frac{1}{b'^2} &= 4 +\frac{\epsilon}{2\epsilon+3} \frac{3-2\frac{\epsilon}{2\epsilon+3}}{(1- \frac{\epsilon}{2\epsilon+3})^2}\\
&= 4 + \epsilon\frac{4\epsilon + 9}{(\epsilon+3)^2}\\
&= 4 + \epsilon - \epsilon^2\frac{\epsilon+2}{(\epsilon+3)^2}\\
&< 4+\epsilon
\end{align*}
$$
となるため矛盾する。
よって$${k = 4}$$である。
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