【統計的に独立📊】複数個の確率変数の分布につい：統計学 No.3
今回は、統計学「複数個の確率変数の分布」について考えていきます✨
同時確率分布から、確率変数が統計的に独立であるとは、どのようなことなのか？ということを理解できる内容となっています📝
ぜひ一緒に基礎的な論点から学習していきましょう💖
データ分析に必要不可欠な統計学📊
経済学部に通う私も
いよいよ大学「学部」最終年になり
学問に全力を注ぐ時間も限られてきました👍
「知は力なり」という言葉を信じて
残りの大学生生活を満喫したいと思います
学部レベルのマクロ経済学は
個人的によく理解できたつもりです
しかしながら、本当の経済の動向を理解するには、学部レベルの知識ではお話になりません😥
また、正しい計量経済学の知識やデータ分析のリテラシーを会得しなければなりません💦
現実の経済データを、理論モデルと当てはめ
正しい計量手法によって実証分析できる力を醸成したら
きっと将来どこかで活躍できる人財になれる可能性を高めることに繋がると思います
何事もアウトプット前提のインプットが
大事であると、noteで毎日発信してきました
これは、どのような内容で
あっても当てはまります👍
先行研究の論文を一概に読んでも
記憶に残っていなかったり
大切な観点を忘れてしまっていたりしたら
学習の進捗は滞ってしまうと思います
だからこそ、この「note」をフル活用して
自分の知識を1％でも、定着させ
誰にでもわかりやすい解説をアウトプットできるように努めていきたいと思います
なお、前回のお復習いはこちらからご確認ください💗
それでは、私がこれからアウトプットする
データ分析の基礎となる計量経済学・統計学の知識についてどうぞ最後まで、ご愛読ください📖
同時確率分布の性質✨
以下では、2つ以上の離散型確率変数を考えていきます。
いま、その数を2個として、それらを$${X,Y}$$で表します！
$${X,Y}$$がそれぞれ特定の値を取るとき、それに対応して1個の確率が与えられるとします。
その確率が、以下のように表されるとき、これを同時確率分布(joint probability function)と呼びます📝
$$
\\joint probability function\\ \\P(X=x_i,Y=y_i)=f(x_i,y_i)\\x_i=1,2,…,n, y_i=1,2,…,m
$$
なお、離散型確率変数のお復習いとなりますが、実現する値に確率がついている変数のうち、実数の不連続な点しか取り得ない確率変数を離散型確率変数と呼びます✨
ここで、離散型確率変数を$${X}$$で表し、それぞれ$${f(x_1),f(x_2),…,f(x_n)}$$の確率でその値$${x_i}$$を取るとします！
すると、確率変数について和記号$${\sum_{i=1}^n}$$を用いて表すと以下のような関係を示すことができます！
$$
\\f(x_i) \ge 0 , i=1,2,…,n\\ \\\displaystyle\sum_{i=1}^n f(x_i)=1
$$
周辺分布の性質✨
2つの確率変数$${X,Y}$$に対して、$${Y}$$がとる値に依存せず、$${X}$$が$${x_i}$$という値を取る確率を表した$${f(x_i)}$$を確率変数$${X}$$の周辺分布(marginal distribution)と呼びます！
同様に、$${f(y_i)}$$の確率変数$${Y}$$の周辺分布と呼びます。
したがって、2つの確率変数$${X,Y}$$の各値の周辺分布には以下のような関係が成立しています。
$$
\\f(x_i)=\displaystyle\sum_{j=1}^n f(x_i,y_j)\\ \\f(y_i)=\displaystyle\sum_{i=1}^n f(x_i,y_j)
$$
条件付き分布について
離散型確率変数$${X,Y}$$に対して、$${Y}$$がある特定の値$${y_j}$$をとったという条件のもとで、$${X=x_i}$$となる確率は、次のように与えられます！
$$
\\f(x_i|y_i)=\frac{f(x_i,y_j)}{f(y_j)}
$$
このとき、$${f(x_i|y_i)}$$を$${Y=y_j}$$を与えたときの$${X}$$の条件付確率関数と呼ぶことを覚えておいてください。
統計的独立とは？📊
確率変数$${X,Y}$$の同時確率分布に対して$${f(x_i,y_i)=f(x_i)f(y_i)}$$という関係が成立しているとき、2つの確率変数$${X,Y}$$は統計的に独立であると言います！
また、確率変数$${X,Y}$$が独立ならば、条件付き確率について次の関係が成立します。
$$
\\f(x_i|y_i)=\frac{f(x_i,y_i)}{f(y_i)}\\ \\ =\frac{f(x_i)(y_i)}{f(y_i)}=f(x_i)
$$
このような基礎的な事項も
どのような確率変数を扱うのかによって変わってきますので、しっかり覚えておきたい内容ですね✨
本日の解説はここまでとします🔖
データ分析の基礎となる統計学の知識をベースに、計量経済学やその他考察のレベルを上げていきたいと思います✨
なお、本投稿作成における参考文献は以下の通りです
なぜ、計量経済学を学ぶのか？？
計量経済学が時系列解析法を「理論なき計測」として退けるところからスタートしたことでよく知られているのです
1930年に創立された計量経済学会の規約第1条では、計量経済学は「理論的数量的アプローチと経験数量的アプローチの統一」と定義されていました📝
また、R・フリッシュによる『エコノメトリカ』創刊の辞では、「統計学、経済学、数学の三者の統合」と定義されているのです👍
このような定義においては、当時のハーバード景気予測に代表される時系列解析法への批判が強く意識されていたとされています
すなわち、それが29年の大恐慌の予測に失敗したのは，経済理論を無視し、 時系列データの形式的な解析のみに終始したからであったということです
今後はそうした「理論なき計測」の立場を退け、「理論に基づく計測」を重視していかなければならない、という見解の重要性が増しています
このような歴史を経て、計量経済学はスタートをきったのでした
そして、何よりマクロ経済変数は
その多くが互いに影響を及ぼし合う相互依存の関係にあり、また過去の変化の影響が持続するという傾向を持ちます
これらの動向を分析したり、将来を予測したりできるようになるためには、計量経済学、ひいては「時系列分析」に対する理論や正しい実証手法への理解が必要不可欠となります
「計量経済学」シリーズの投稿では、こうしたマクロ時系列変数の実証分析に必要な計量理論と手法を習得することを目的とします
これから私がアウトプットする
時系列マクロ経済分析に関する内容について
どうぞ最後までご愛読ください💖
付録：私の卒論研究テーマについて🔖
私は「為替介入の実証分析」をテーマに
卒業論文を執筆しようと考えています📝
日本経済を考えたときに、為替レートによって
貿易取引や経常収支が変化したり
株や証券、債権といった金融資産の収益率が
変化したりと日本経済と為替レートとは
切っても切れない縁があるのです💝
（円💴だけに･･･）
経済ショックによって
為替レートが変化すると
その影響は私たちの生活に大きく影響します
だからこそ、為替レートの安定性を
担保するような為替介入はマクロ経済政策に
おいても非常に重要な意義を持っていると
推測しています
決して学部生が楽して執筆できる簡単なテーマを選択しているわけでは無いと信じています
ただ、この卒業論文をやり切ることが
私の学生生活の集大成となることは事実なので
最後までコツコツと取り組んで参ります🔥
今後も経済学理論集ならびに
社会課題に対する経済学的視点による説明など
有意義な内容を発信できるように努めてまいりますので、宜しくお願いします🥺
おすすめマガジンのご紹介🔔
こちらのマガジンにて
卒業論文執筆への軌跡
エッセンシャル経済学理論集、ならびに
国際経済学🌏の基礎理論をまとめています
今後、さらにコンテンツを拡充できるように努めて参りますので、今後とも何卒よろしくお願い申し上げます📚
また、こちらに２４卒としての私の就職活動体験記をまとめたマガジンをご紹介させていただきます👍
様々な観点から就職活動について考察していますので、ご一読いただけますと幸いです
改めて、就職活動は
本当に「ご縁」だと感じました🍀
だからこそ、ご縁を大切に
そして、選んだ道を正解にできるよう
これからも努力していきたいなと思います🔥
最後までご愛読いただき誠に有難うございました！
あくまで、私の見解や思ったことを
まとめさせていただいてますが
その点に関しまして、ご了承ください🙏
この投稿をみてくださった方が
ほんの小さな事でも学びがあった！
考え方の引き出しが増えた！
読書から学べることが多い！
などなど、プラスの収穫があったのであれば
大変嬉しく思いますし、投稿作成の冥利に尽きます！！
お気軽にコメント、いいね「スキ」💖
そして、お差し支えなければ
フォロー＆シェアをお願いしたいです👍
今後とも何卒よろしくお願いいたします！