シェア
$${P(x)}$$ を $${x}$$ についての整式とし、$${P(x)P(-x) = P(x^2)}$$ は $${x}$$ についての恒等式であるとする。 $${P(0) = 0}$$ または $${P(0) = 1}$$ であることを示せ。 $${P(x)}$$ が $${x - 1}$$ で割り切れないならば、$${P(x) - 1}$$ は $${x + 1}$$ で割り切れることを示せ。 次数が $${2}$$ である $${P(x)}$$ をすべて求め
$${0}$$ 以上の整数 $${x}$$ に対して、$${C(x)}$$ で $${x}$$ の下 2 桁を表すことにする。 たとえば、$${C(12578) = 78}$$、$${C(6) = 6}$$ である。 $${n}$$ を $${2}$$ でも $${5}$$ でも割り切れない正の整数とする。 $${x, y}$$ が $${0}$$ 以上の整数のとき、$${C(nx) = C(ny)}$$ ならば、$${C(x) = C(y)}$$ であることを示せ。 $
以下の条件を満たす実数 $${a, p, q}$$ を考える。 $$ \begin{cases} 5p^2 + 2p = q^2 + 5q \\ q = ap \\ pq \neq 0 \end{cases} $$ 次の問いに答えよ。 問1 $${a \neq \pm \sqrt{5}}$$ のとき、$${p}$$ と $${q}$$ をそれぞれ $${a}$$ を用いて表せ。 問2 $${a}$$ は有理数で、$${a = \frac{m}{k}}$$ と既約分
固定された直線に円が接しながら滑ることなく回転するときに、円周上の定点が描く曲線をサイクロイドというが、その類似として、固定された半円に線分が接しながら滑ることなく回転するときに、線分上の定点が描く曲線を考える。すなわち、$${xy}$$ 平面の単位円 $${x^2 + y^2 = 1}$$ の $${y \geqq 0}$$ の部分にある半円を $${C}$$ とし、長さ $${\pi}$$ の線分 $${AB}$$ が半円 $${C}$$ に接しながら滑らずに動くとする。
次の問いに答えよ。 問1 $${x \geq 0}$$ に対して、 $${x - \frac{x^2}{2} \leqq \sin x}$$ が成り立つことを示せ。 問2 自然数 $${n}$$ に対して、 $${a_n}$$ を $${a_n = \sin \frac{1}{n^2} + \sin \frac{2}{n^2} + \sin \frac{3}{n^2} + \cdots + \sin \frac{n}{n^2}}$$ と定めるとき、数列 $${ ｛a
