数学問題6

次の問いに答えよ。

問1

$${x \geq 0}$$ に対して、
$${x - \frac{x^2}{2} \leqq \sin x}$$
が成り立つことを示せ。

問2

自然数 $${n}$$ に対して、 $${a_n}$$ を
$${a_n = \sin \frac{1}{n^2} + \sin \frac{2}{n^2} + \sin \frac{3}{n^2} + \cdots + \sin \frac{n}{n^2}}$$

と定めるとき、数列 $${ ｛a_n｝ }$$ の極限を求めよ。

問3

$${\alpha}$$ を実数とする．自然数 $${n}$$ に対して、 $${b_n}$$ を
$${b_n = n^\alpha \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} \frac{\sin x}{\sqrt{x}}  dx}$$

と定めるとき、数列 $${｛b_n｝}$$ が収束するような $${\alpha}$$ の値の範囲とそのときの極限値を求めよ。

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