数学問題7

固定された直線に円が接しながら滑ることなく回転するときに、円周上の定点が描く曲線をサイクロイドというが、その類似として、固定された半円に線分が接しながら滑ることなく回転するときに、線分上の定点が描く曲線を考える。すなわち、$${xy}$$ 平面の単位円 $${x^2 + y^2 = 1}$$ の $${y \geqq 0}$$ の部分にある半円を $${C}$$ とし、長さ $${\pi}$$ の線分 $${AB}$$ が半円 $${C}$$ に接しながら滑らずに動くとする。始めに点 $${A}$$ は $${(1, 0)}$$、点 $${B}$$ は $${(1, \pi)}$$ の位置にあり、点 $${B}$$ が $${(-1, 0)}$$ に到達したときに動きを止めるものとし、この間に点 $${A}$$ が描く $${xy}$$ 平面上の曲線を $${L}$$ とする。

次の問いに答えよ。

問1

不定積分 $${\int \theta \sin a\theta  d\theta}$$ と $${\int \theta^2 \cos a\theta  d\theta}$$ をそれぞれ求めよ。ただし、$${a}$$ は正の定数とする。

問2

半円 $${C}$$ と線分 $${AB}$$ の接点が $${(\cos \theta, \sin \theta)}$$ $${(0 \leqq \theta \leqq \pi)}$$ のときの点 $${A}$$ の座標を求めよ。

問3

曲線 $${L}$$ と $${x}$$ 軸および直線 $${x = -1}$$ で囲まれた部分の面積 $${S}$$ を求めよ。

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