note連続講義 第1章‐4 微分の応用 第1章‐5 まとめ
~はじめに~
皆さんこんにちは，lim_sub_r_boyです．投稿がかなり遅くなってしまい申し訳ありませんでした．今回の内容は，前回の内容に$${+\alpha}$$した内容と微分の応用ということで主に，物理の分野に焦点を当てて話して行けたらなと思います．
~前回の内容にもう一味~
前回の内容は微分ということで，いろいろな関数の微分について紹介したと思います．ですが，その1つ1つだけの微分ができてもそれらの関数の積の形になったら途端に微分ができなくなってしまいます．例えば，$${f(x)=\cos (x)\sin(x)}$$はその1例です．このような関数が出たらどのように処理すればよいのでしょうか．結論として，『積の微分』というものを実行して導関数を求めます．その公式を以下に示します．前回言っていませんでしたが，公式はformulaの前3文字をとって$${\mathrm{for}}$$としたいと思います．
$${\mathrm{for.\text{積の微分}}\\\left(f(x)・g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$$
この微分公式を使うと，先程出た関数も微分できます．やってみましょう．
$${\mathrm{ex)\text{次の関数の導関数を求めよ．}}\\f(x)=\cos(x)\sin(x)}$$
$${\mathrm{solv.}\\f'(x)=(\cos x)'\sin x+\cos x(\sin x)'\\=-\sin^2x+\cos^2x_{//}}$$
積の微分に似ている公式で『商の微分』がありますが，積の微分の問題に帰着することができるのでここでは省略したいと思います．また，高階微分に関しても受験等に出てくるものではありますが，この講義の目標である数学に関して興味を持ってもらうのが第1であるのでこれも省略したいと思います．
~微分の応用~
ここからが今日の本題ということで，微分の応用をやっていきたいと思います．ここでは，物理の中でも力学に焦点を当てて話していきたいと思います．ところで質問です．皆さんは《速度》と聞いて説明できるでしょうか．
物理では「単位時間あたりに進む距離」と説明されます．しかしながら，数学の視点に立つと速度は距離〔$${\mathrm{m}}$$〕を時間$${t}$$で微分したものであるといえます．これを定式化すると，
$${v[\mathrm{m/s}]=\dfrac{d}{dt}x[\mathrm{m}]}$$
また，加速度は$${v}$$を微分したものと同じであり，距離を2階微分したものと同じであります．
$${a\left[\mathrm{m/s^2}\right]=\dfrac{d}{dt}v[\mathrm{m/s}]\\\,\\a\left[\mathrm{m/s^2}\right]=\dfrac{d^2}{dt^2}x[\mathrm{m}]}$$
文系の方でも分かるのは恐らくこの2つだと思います．理系の方だと単振動の式等も微分からきているので実際に試してみるとよいでしょう．
~まとめ~
当初の予定では，テストを作成してそれを皆さんに解いてもらおうと思ったのですが，こんなような感じですのでからりと言っては何ですがこっから今週の1問をpt．30までnote連続講義でやった内容を問題として出していきたいと思います．
また，今週の1問はpt.30まで行った後はいったん終了し，こっからはまたpt.1から今週の1問をやっていこうと思います．こっちの方に関してはマガジン化する予定ですのでお楽しみに．
~さいごに~
今回も読んでくださり，ありがとうございました．第2章以降は構成をよく練ったうえで投稿するのでしばらく時間はかかると思いますが温かい目で見守っていただけると幸いです．また，今週の1問は週に1回のペースで投稿し全6週に渡りお送りしたいと思います．なので，そちらもよろしくお願いします．
ということでまた次回お会いしましょう．
さようなら！