位相と論理と私2：半束（pp.4-6）

前回は半束の定義まで進んでいました．その続きです．

半束

順序集合$${A}$$のすべての有限部分集合がjoinをもつとき，半束といいます．

半束は空集合のjoinとして最小元0をもつ．任意の2元$${a,b\in A}$$のjoin，すなわち，$${\lor\{a,b\}}$$も存在が保証されている．それを$${a\lor b}$$と書く．

これにより半束の中で$${\lor}$$は2項演算子と捉えてもよいこととなります．joinはある部分集合の最小上界として定義されましたので，$${\lor}$$が2項演算子として，交換律と結合律を満たすことは明らかです．

ブール環っぽいものは半束になる

また，「ブール環っぽいものは半束になる（積が冪等なら半束になる）」ということがp.4の命題1.7として記されています．引用すると以下の主張です．

命題1.7 $${A}$$は集合で，$${e}$$はその元，$${\ast}$$は2項演算子で次の条件をみたすとする．

$$
a\ast a=a,\quad a\ast b=b\ast a, \quad a\ast(b\ast c)=(a\ast b)\ast c, \quad a\ast e=a.
$$

そのとき，$${A}$$上の順序$${\le}$$が一意的に決まり，$${A}$$は半束で$${\ast=\lor, e=0}$$である（上の4つの条件は左から，冪等，可換（交換律），結合律，単位元を表します）．

証明は$${a\le b\iff a\ast b=b}$$によって順序を定めれば，それが実際，順序の条件を満たし，さらに任意の有限部分集合のjoinが存在することも示せます．示すべき事項を書き出して，定義に従ってやれば確認できるタイプの証明です．任意の2元に対し順序関係があるのは$${a\ast b=b}$$のときである，と定めているので順序の一意性についても示せています（仮に$${a\ge b\iff a\ast b=b}$$と定めればoppositeな順序となりますが，そういった違いは無視した一意性だと思います）．※一意性について，この説明ではダメだと思い直したので，次のnoteで再考察します．

この命題の条件である，可換・結合律・単位元，そして冪等，というのは，後で出てくるブール環の条件の一部分です．大雑把に言えば，ブール環っぽい性質があれば半束である（または積が冪等なら半束である），ということです．

半束の例として，集合$${X}$$のベキ集合族$${(PX, \cup, \varnothing)}$$があります．

半束の写像，部分，双対，opposite

p.5では，joinをを保つ写像，部分半束の解説があります．代数の教科書では，何らかの特性をもつ集合が出てくると，それらの間の写像や部分集合を考えますが，それと同じ流れです．簡単なのでこのnoteでは飛ばします（ついでに言えば代数では集合同士の積も考えますが，この本では集合の積はないですね）．

joinの双対概念として，meetがあります．順序集合において，部分集合の最大下界として定義されます．記号は$${\land}$$．すべての有限部分集合にmeetが存在するときmeet半束といいます．これまでの半束をそれとの対比でjoin半束ともいいます．

順序集合$${P}$$において，順序関係がある2元の大小をひっくり返すと，それもまた順序集合となり，それをもとの順序集合$${P}$$のoppositeな順序集合といいます．$${P^\mathrm{op}}$$と書きます．

半束の完備性

join半束がすべてのjoinをもつとき，完備である，といいます．一般的なjoin半束は有限部分集合にjoinの存在が保証されていましたが，有限濃度ではない，無限の部分集合にもjoinが存在する場合が完備であるということです．

なんと，順序集合が完備なjoin半束であることと，完備なmeet半束であることは同値です．join半束として完備ならmeet半束としても完備であることの証明は以下です．

・$${A}$$を完備なjoin半束とする．
・部分集合$${S\subset A}$$をとる（この$${S}$$にmeetがあることを示したい）．
・$${T}$$を$${S}$$の下界の集合とする．join半束には最小元0があるので$${T}$$は空ではない．
・$${a=\lor T}$$とおく．join半束であることから，$${a}$$の存在は保証されている．
・任意の$${s\in S}$$は$${T}$$の上界である（$${T}$$は下界の集合でしたからね）から，$${a\le s}$$（$${a}$$は$${T}$$の最小上界として定めたので$${T}$$の上界であるどんな$${s\in S}$$よりも小さいです）．
・よって$${a}$$は$${S}$$の下界である．
・$${a}$$は$${T}$$の最大元である（$${T}$$の上界であり，$${T}$$に属するので最大元）．
・$${a=\land S}$$である（最大下界なのでね）．（証明終）

逆のmeet半束の完備性からjoin半束の完備性を導くのは省略します．

任意のjoinがあるならmeetもある，その逆も然り，というこの命題は初見では不思議ですが，上記の証明を見ればなるほどそうだねと思えます．

完備なjoin半束として，位相空間$${X}$$の開集合全体$${OX}$$が紹介されています．ただし，開集合の族$${\mathscr{S}}$$のmeetは$${\cap\mathscr{S}}$$の開核としています．

まとめ

今回は，ブール環っぽいものは半束になることと，join半束の完備性からmeet半束の完備性を導く証明をご堪能いただけると幸いです．

（続く）

2022/2/7：改題しました．