『高校数学のロードマップ』A_4（関数編）4『積分』

（2019/11/27差し替え）

（※注：「理系に進学したいが数学が苦手な知人の高校生に、数学の良さを教える」というミッションのための草稿を、あらかじめWebに掲載して、ダメなところを指摘してもらおう、という趣旨の記事です）

（2022/5/26追記）
このA_4の記事はことさら使用に堪えません。今ではベクトルと微分の順序がおかしいと思います。論点先取をやっている疑いが極めて強い。とはいえもう納品してしまったので（そしてこの高校生は今は国立大学に見事合格してしまったので）今更しょうがないんですよね…困ったな。

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〇積分

●曲面の面積や球体等の体積を求められたら嬉しい

・さて、ユークリッド空間は真っすぐである。そこは信じて良さそうだ、とします。
　しかし、直線や平面や真っすぐな3次元図形が扱える、というのに慣れていくと、そのうち「多様体の中でも、曲線とか曲面とか、変な形の3次元図形とかも扱えるようになればもっといいのに」と思うようになります。
　例えば、関数を使うと、「今これだけの勢い（傾き）で、今これだけの量の出力（y(=f(x))の値）があること」は分かります。
ですが、これの発展形で、世の中には「今までどれだけ出力したのか、全体量が知りたい」というニーズがあったりします。
　何となく「関数とx軸に挟まれた部分の面積を出せば、そういうのが出せるんじゃないか」という予感があります。そこはいいでしょう。
しかし、じゃあどうやれば曲線で囲まれた部分の具体的な面積の数値が出るのか？　そんなやり方、あるのか？　今までやったやり方の応用で出来るのか？
 
・実は、ユークリッド空間で、真っすぐでない図形を扱う方法は存在します。
　ここで役立つのが、実は微分の時に説明した導関数です。
　関数の描く曲線に、微分を施すと、曲がる部分のより少ない、別の曲線が出来るのでした。そして、この曲線に対応する関数のことを、導関数というのでした。（これを有限回やると、運がやや良いと、直線になることもあります。ここはさっき書いた通りです。）
　じゃあ、導関数に、微分と「逆の」処理をするとどうなるか。実は、曲がる部分のより多い、別の曲線が出来るのです。また、それに対応する新しい関数も出来ます。この曲線と関数を作る操作を積分（せきぶん）と呼びます。
「へえ、なるほど。それで、その曲線や関数がどうかしたんですか？」と誰しもまずは思うところですが、実は、これはとても便利な性質を持っています。
操作前の関数の、x=0からx=n（なんかの数値）までの範囲の面積と、操作後の新しい関数の、x=nのときのy(=f(x))の値が、なんと一致しているのです。これは非常に奇妙な一致ですが、応用する分にはこれは非常に便利な性質です。
 
・試しに、1次関数（関数のグラフは傾きのある直線になる）のときと、2次関数（関数のグラフは曲がる部分が1つある曲線になる）のときが分かりやすいので、例としてやってみましょう。
・「y=x+2のとき、x=0からx=4までの範囲の面積を計りたいんだけど、どうすればいいんだろう」というニーズがあり、しかもこれがテスト問題として出てきた、困ったな、ということがあったものとします。
　直線なら無理やり計れるし、この場合もそうです。しかし、この章の目的は、あくまで曲線でも使えるやり方ですので、答えではなく解き方を身につけなければならないわけです。
（ちなみにあらかじめ、直線の時だけ使える方法で、答えを出してしまいましょう。これはあくまで答え合わせに使うだけで、さっきも書いた通り、この方法ではない方法を身につけなければなりません。
さて。x=0のときy=2で、x=4のときy=6になります。x=0とx=4の差は4ですね。
図を見ると台数になっているので、台数の面積を求める式、「(片方の辺の長さ+もう片方の辺の長さ)×高さ÷2」で演算すると、(2+6)×4÷2=16です。直線だとこういうレベルの分かりやすい図形が出来るから便利ですね。）
 
・さて、1次関数を積分して2次関数を作る方法は、こうです。
　1次関数：y=x+2
　を積分すると、
　2次関数：y=1/2×x^2+2x
　となります。
xと関係ないただの数である2は、積分の結果、xを単に掛けて、2xになりました。
xの積分の結果、xは1/2×(xの2乗)になった、と思って下さい。
一般的に、ある関数の、xの(n-1)乗の部分は、積分するとxのn乗に1/nを掛けたものになります。
・つまり？　具体的に演算してみましょう。
x=4の場合の2次関数のy(=f(x))の値は？　1/2×(4の2乗)+2×4になりますね。
これを演算すると…16です。前の1次関数で出来た台形の面積と一致しました。本当だった！
 
・そんなわけで、積分を使えば、曲線に囲まれた範囲の面積が、関数を使って出せるのです。
しかもこれは2次関数でも3次関数でもn次関数でもなんでも同じ要領で出来ます。
つまり、曲線で囲まれた部分の面積が分からない、と途方に暮れた時は、対応する関数を積分した後で、そこにポチポチと数を代入して、コツコツと演算すれば、なんと面積が出ます。
ズルい(cheat)！　いや、ちゃんとOKです。というか、理系をやる場合、高校数学の積分の授業でこの説明を受ける日が必ず来ます。これ以降は、「こんなことは許容されている、というか推奨されている」という扱いになりますので、もし授業でこの話が出たら、その日から使って下さい。

・ということで、改めて、

！関数のグラフ→傾き→微分→ベクトル→ベクトル空間→（ノルム→ユークリッドノルム→）ユークリッド距離→三角関数→角度→（曲率→）ユークリッド空間→（（「馴染み深い図形」としての）多様体→）積分

というロードマップを覚えておくか、ときどき見返しておいて下さい。
・この積分ですが、大学では関数は基本的に微分したり積分したりして扱うことになります。大学に行くまでに慣れておくと、大学ではかなり楽になるでしょう。
また、その他にも様々な使い道があります。VI.確率編で、積分の様々な応用を見ていきましょう。