『高校数学のロードマップ』A_2（数編）5『線』

（2019/11/27差し替え）

（※注：「理系に進学したいが数学が苦手な知人の高校生に、数学の良さを教える」というミッションのための草稿を、あらかじめWebに掲載して、ダメなところを指摘してもらおう、という趣旨の記事です）

＊＊＊

〇線

●数学における空間能力

・高校数学では空間については「最初からあるもの」として扱うはずです。だから、数学で考えるような空間がどうやって作られるか、という話は普通出てこないはずです。そういう意味では、高校数学ではやらないところなので、以下の話はスルーしてもよいところですが、一応手短に書きます。
 
・集合のところで少し書きましたが、集合の中には「ある種の空間が作れる」能力を持つものがあります。この、いわば空間能力（正式には位相的構造といいます）を持った集合のことを、幾何学におけるもっとも初歩的な空間、位相空間（いそうくうかん）と呼びます。（大学数学でやることなので、今覚えなくてもよいです。）
・位相空間の例としては、線（せん）があります。
（もっと初歩的なものもあり、真面目にやれば実は説明できるのですが、難しくなるのですっ飛ばします。
「そんなの納得できない」という場合に限り、参考編を読むことを勧めます。）

●空間能力をもつ実数

・実は、極限を何段階か加工すると、実数が導き出されます。
・また、実は、実数は線とうまく対応づけることが出来ます。なので、実数と線を同一視してもいいでしょう。
（極限から実数を、実数から線を構成する方法は、真面目にやれば実は説明出来るのですが、難しくなるので飛ばします。
「そんなの納得出来ない」という場合に限り、参考編を読むことを勧めます。）
 
・この編では、実数と複素数の章の次に線の章を設けています。しかし、複素数と線は、同じ実数から作られたものですが、基本的には関係がないものです。注意してください。
「じゃあ何でこういう構成になっているのか？」ということですが、III.空間編で面を作るときに、「実数の線2本で面を作るが、これを応用して、実数と虚数を線2本に対応させて、複素数に対応する特殊な面を作ることも出来る」という話をするためだけに、このような構成にしています。
（複素数は後で別の応用があるのですが、それはV.積分編で説明します。）

●実数の空間としての線

・改めて、

！（実数より前のレベルの）数→（実数より前のレベルの）数列→極限→実数→線

　というロードマップを覚えておくか、ときどき見返しておいて下さい。
・小学校算数では数と図形を主にやったと思いますが、数に関する説明としてのII.数編はここまでです。III.空間編からは、線をはじめとする、空間に関する説明になり、いろんな種類の図形等を扱っていきます。やっていきましょう。