正n角形の１つの内角について
はじめまして、こんにちは！
今回考えてみる問題は、正多角形についての問題です。
正多角形とは、全ての辺の長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい多角形のことです。（と偉そうに言っていますが、一応調べてから書きました。）
というのも、筆者は正多角形の定義は全ての辺の長さが等しい多角形であり、全ての内角の大きさが等しいというのは正多角形の性質だと思っていました。
凹みがある多角形もあるからかな、と思ってみたり、、。その辺はまた詳しく記事にできたら、と思います。（話が逸れました）
今日の問題は頑張れば小学生でも！？、中学校の数学の知識を使うと少し楽に解けるような問題です！ぜひチャレンジしてみてください。
今日の問題はこちら
正三角形の１つの内角は60°で整数の値になりますが、正七角形の１つの内角は128.57…°と整数の値にはなりません。では、正n角形の１つの内角の大きさが整数の値となるnは全部で何個あるでしょうか？
少し考えてみましょう！
正方形の１つの内角は90°で整数になる、正五角形の１つの内角は108°で整数になる、正六角形の１つの内角は・・・ってこれ全部調べるの？？果てしなくない？？？ってなりますよね。
考え方の方針としては、せっかく問題文に正n角形と文字が使われているので、文字を使って計算するのが手っ取り早いですかね。
（シンキングタイム）
ここから解説
n角形の内角の和は、180°×(n-2)で表されます。
（対角線を引いて多角形を三角形に分割する方法でわかります）
正n角形では全ての内角の大きさが等しいので、内角の和をn等分した値が１つの内角の大きさになります。
180°×(n-2)=180°×n-360°
であるので、これをnで割った
180°-360°/n
が正n角形の１つの内角の大きさを表しています。
今回の問題では、この値が整数になるようなnの個数を求めれば良いわけです。
（なんだか、整数の問題に変わってきました。以下、°を省略します。）
180-360/n
が整数になる時を考えるわけですが、（整数）-（整数）＝（整数）ですので、
360/n
が整数になればよい、つまりnが360の約数であればよいです。
あとは360の約数の個数を数えます。
地道に数えてもわかりますが、少し手っ取り早い方法を。
360を素因数分解すると
$${360=2^3 × 3^2 × 5}$$
であり、（指数+1）を全て掛け算すると4×3×2＝24となり、360の約数は24個であるとわかります。（これは約数を決めるときに、それぞれの数を選ばないか、１つ選ぶか、２つ選ぶか・・・という組み合わせで計算できるからです）
やった−！答えは24個だ！！
と喜んでいるところにまさかの落とし穴。360の約数を数えているということは、その中には当然１や２という数も含まれています。ですが、元々の問題を考えたときに、正一角形や正二角形というのは適切ではありません。よって、この二つだけは除いてあげなくてはなりません。
したがって、この問題の答えは、22個となります。
今日の問題は以上です。
図形と整数の問題を合わせたような少し頭を使う問題でしたね！
また次回の問題でお会いしましょう。
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