【微積分】 〈６〉 極値
数学の歴史上、「三角比」「図形の性質」などは紀元前から使われていま
すが、「微積分」は、比較的最近の技法のようです。たいへんスマートで、体系的に確立されており、代数と幾何の一対一対応の美しさを味わうことのできる分野です。
[Method] 導関数：ｆ’(x)＝０→極値
・ｆ’(x)＝０ を満たす、x=a がある
つまり、（接線の傾き）＝０のところがある ……①
・ｆ’(a)＝０であるとき、x=a の前後で、ｆ’(a)が異符号
つまり、増加と減少が起こっている＝山や谷がある ……②
①、②の両方が成り立つとき、x=a で極値を持つ
さらに、
山＝極大値：ｆ(a)、谷＝極小値：ｆ(b)
と呼ぶ
方程式、判別式、微分係数、内積など、数学には、「＝０とおく」解法がよく出てきます。ですから、「とりあえず、何でも０とおいてしまう」なんてことも起きてしまいます。
なぜ、０とおくのか。
場合によって、整理して理解しておくことが肝要です。
関数のグラフを描く場合、曲線の曲がり具合を見つけて、書こうとしているので、曲がり角が重要ですよね。ただし、高校数学で扱うグラフでは、滑らかな曲線であることがほとんどなので、曲がり角ではなく、ｘ軸に平行な平らなところを見つけていきます。
ですから、
「平ら」＝「接線の傾き＝０」
とおいてみるのです。
ただし、ｆ’(x)＝０ のところで100％極値かというと、そうではないところが、「つまずきポイント_１」です！
単調に増加、単調に減少しているときは、極値とは呼ばないルールなのです。ですから、ちゃんと山か谷になっていることを確認しましょう。
〈例題１〉
この例題では、（１）のようであれば、ｘ＝１、３で極値をとる
（２）は、ｘ＝－１について、ｆ’(ー１)＝０ とはなりますから、一瞬、平らなのですが、増加から増加へと単調増加しているので、極値とは言わないのです。
（この点を変曲点と呼びます。詳細は別の項で！）
後半について、ここにも「つまずきポイント_２」があります。
ここで、ｆ’(x)＝０ の解がｘ＝a、b などと求まったとしましょう。
すると、（上記の条件を満たせば、）
ｆ’(a)＝０ であり、ｆ(a)＝極大値（極小値）です。
”ダッシュ”の有無の違いで、「接線の傾き」となったり、ｆ(ｘ)の値となったりするので、明確に区別できるように整理しておきましょう。
[Method]
ｆ’(a)＝「接線の傾き」
ｆ(a)＝（ｘ＝a のときの値）＝（ｙ座標の値）
特に、３次関数では、ｆ’(x)＝０について、
異なる２つの実数解があれば、
つまり、曲がるところが２カ所あれば、（１）のようになります。
（極値をもつ）
重解になれば、
とまり、曲がるところの２カ所が重なってしまえば、（２）
のようになります。（極値はなし）
虚数解になれば、
つぎのような曲線（「なで肩」）になって、平らになるところは１カ所もありません。（もちろん、極値はなしですね）
以下の例題２・問題５で確認しておきましょう。
〈例題２〉
〈例題解答例２〉
〈問題３〉
〈問題解答例３〉
〈問題４〉
〈問題解答例４〉
〈問題５〉
〈問題解答例５〉
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