令和2年度センター試験数学Ⅱ･B 第4問

2020年10月30日 20:11

こんにちは。東北大学の佐々木です。

今回は令和2年度センター試験数学Ⅱ･Bの第4問のチャート解説です。何度も言いますがここでは解答そのもののネタバレ要素はありません。解き方の解説になるのはご容赦下さい。

　この問題は空間ベクトルです(年によっては平面ベクトルの出題があります)。しかし、難しい訳ではないので、まずは臆しないのが重要だと思います。

(1)はベクトルの大きさと内積の復習です。習ったであろうことがそのまま出題されるのでとっかかりやすいと思います。

(2)はベクトルOCの特定です。代入→連立方程式を解く→Cの具体的な座標を出す→大きさを求める、という手順なのでことさら難しいことは(数列と比べると)ありません。

(3)の最初のベクトルCBの特定も容易です。これをベクトルOAと比較して、スカラー倍で表せるか、また、ベクトルOCはベクトルABでは同じ事がいえるのかを考えましょう。おそらくこれでどのような四角形かは特定できるでしょう。また、垂直条件から四角形の面積は出せる(無理なら小学校範囲の復習になります)ので問題はないでしょう。この問題、それにしても条件が恵まれていますね。

(4)は垂直条件と内積から連立方程式を出すという先ほども見たパターンです。そこからは内積と2ベクトルのなす角の余弦を求める関係式を使えば容易です。(ベクトルODの長さも求める必要がありますが…)また、平面同士の垂直条件から四面体の高さが特定できたらあとは△ABCの面積を求めるのみです。求め方は多様ですのでどうするかは任せます。点A基準のベクトルを求めるか、四角形の面積から△OABの面積を引くか…色々あるので試してみましょう。