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液体と気体の流動性を考察する流体力学の話 -3-

液体と気体をひとつの「連続体」と見做して、力学的な観点から議論する。流体力学の意味するところです。

流体力学は何かと非線形問題を扱う分野です。守備範囲は水理学や航空力学など裾野が広いです。

今回の連載(投稿)では、流体力学において特有の物理的挙動の表現について、数学の知識を交えてながら整理していきます。

前回は流体の運動の記述方法や観察方法(流線・流跡線・流脈性)について、物理的な違いなどを示しました。

今回は流体にまつわる様々な特性について説明します。流体に働く力と流体の運動の関係性を見ることで、流体の力学特性を推察することができます。今回は取り上げる内容として、主に粘性・圧縮性・熱伝導性を挙げます。


粘性流体の特性

流体に対して応力とひずみ(速度)の間に線形的な因果関係を設けます。流体の場合は「粘性流体」と言います。または、ニュートン流体と言います。

これは、流体の変形における接線成分の存在を前提としています。その説明をするために、理想的な流体の定義を
挟みます。

流体の最初の定義付けとして、流体の接線成分に起因する変形(抵抗)を生じない場合を考えます。これを「完全流体」または「理想流体」と言います。

$${p_{ij}=-p\delta_{ij}}$$

ここで、応力テンソルにおいて接線成分をゼロにするために、クロネッカーのデルタを使いました。ここで、右辺($${p}$$)を圧力と定義します。

粘性流体の特徴として、流体の変形(抵抗)はひずみの速度に関係すると考えます。そこで、応力テンソルとひずみ速度テンソルを紐付けて、次のように表現します。

$${p_{ij}=C_{ij}+C_{ijkl}{e_{kl}}}$$

上記が粘性流体の関係式であり、定数テンソルを介します。静止流体の性質や定数テンソルの対称性などから、定数テンソルを現実的な物理量を用いて詳細化すると次の通りです。

$${p_{ij}=-p\delta_{ij}+2{\mu}{e_{ij}}+{\lambda}{e_{kk}}{\delta_{ij}}}$$

ここで、右辺の2項目の定数を粘性率、3項目の定数を第2粘性率と言います。一般的に、第2粘性率は体積粘性率($${\chi}$$)に転用されます。

$${\chi=\lambda+\frac{2}{3}\mu}$$

これまでを整理すると、粘性流体は上記の粘性率や体積粘性率が有値であることを意味します。

圧縮性流体の特性

物質に働く圧力の変化に対する密度の変化の割合のことを「圧縮率」と定義します。

$${\kappa=\frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dp}}$$

圧縮率は外的条件の取り方で異なります。等温圧縮率や断熱圧縮率などがあります。圧縮率が無視できない場合を「圧縮性流体」と言います。圧縮性流体は現実として気体であることが多いです。

圧縮性流体と非圧縮性流体の境界線は流体の性質としてどちらに準えるかです。そのための判断材料のひとつに、マッハ数と呼ばれる指標(無次元量)があります。

$${M=\frac{U}{U_a}}$$

分母(音速)を基準に分子(流体の代表速度U)の比率を評価します。一般的に知られる境界(値)として「$${M=0.3}$$」が挙げられます。

出典:https://www.sim24.co.jp/jirei1.html

圧縮性流体の事例として、全体的な流速が音速を超越して衝撃波が起こる様子を再現したものです(数値解析の範囲です)。ノズルから空気を吐き出した瞬間に急速に流速が高まり、亜音速領域が発生します。その境目では衝撃波を伴います。

熱流体の特性

圧縮率と類似した物理定数に「熱伝導率」があります。熱伝導は物質内部の温度分布が一様ではない状態で、熱の移動が発生することに起因します。温度勾配が非常に大きい場合を除き、基本的にフーリエの法則に従うとされています。

$${\bm{\theta}={\theta}\bm{n}=-k\textrm{grad}{\,}T}$$

左辺にある変数は「熱流」と呼ばれており、単位面積および単位時間当たりに通過する熱量(スカラー量)に対して、法線を介してベクトル量に変換した物理量です。定数($${\kappa}$$)が熱伝導率です。

この他に代表的な物理量として、物質が1度上昇する際に必要な熱量を表した「比熱」という物理定数があります。

流体の熱の伝わり方は「熱伝導」に限りません。例えば、流体が熱膨張性を持つ場合で、流体の温度分布が不均一である場合に、局所的に浮力が発生します。これは「対流」と呼ばれる現象です。

物体の熱膨張率は、圧力が一定の下での温度変化に対する体積変化の割合で計算されます。

$${\alpha=\frac{1}{V_0}(\frac{\partial V}{\partial T})_p=-\frac{1}{\rho_0}(\frac{\partial \rho}{\partial T})_p}$$

ここで、添字0が付いている定数は、それぞれ温度が0度の時の比体積および密度です。

おわりに

今回は流体における代表的な諸特性について示しました。特に圧力・密度・温度の3種類の変数を用いて、ひとつの関係式として「状態方程式」が存在します。

$${f(p, \rho, T)=0}$$

特に、簡単な気体においては完全気体の状態方程式が存在します。

$${p=R{\rho}T}$$ , $${R=K/m}$$

ここで、Kは普遍気体定数、mは分子量です。完全気体では$${K=1.987[cal/K]}$$になります。

これらの諸特性は当該(流体)の扱い方で決まりますし、その匙加減は状況次第になります。そういう意味でも、今回のような特性(各々)に対する理解は必要不可欠です。

次回から、流体力学の基礎方程式のそれぞれを詳細に紐解いていきます。

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最後まで読んで頂き、ありがとうございます。この記事があなたの人生の新たな気づきになれたら幸いです。今後とも宜しくお願いいたします♪♪
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