【量子力学３】密度演算子と測定の理論【量子情報】

前回は，準備された量子状態に対して測定を行う状況を考えました．しかし，実際には，どのような状態に準備されているか知らないまま測定をすることもよくあることです．例えば，熱平衡状態にある系を測るときや，測定したがその結果を知らないときはこのような状況になっています．このような場合，状態は混合状態として扱われます．（対して，状態の知識が完全な状態は純粋状態と言います．）

今回は，混合状態の記述方法を考えていきましょう．

密度演算子

状態がわからないときは，古典確率で重みをつけて状態を足していけばよいと考えられます．しかし，これを単にケットベクトルに確率的な重みをつけて足すということをすると，重ね合わせの原理そのものなので，別の新しいケットになってしまいます．これは確定した新しい量子状態（つまり純粋状態）になるだけで，混合状態の記述とは異なります．

係数間の位相関係を保ったまま重ね合わせると，別のケットができるだけです．ちなみに，位相関係を保った重ね合わせのことをコヒーレントな重ね合わせと言ったりします．「重ね合わせ」というときはいつもコヒーレントなので「コヒーレントな」というのは強調する程度の意味でしかありませんが，これが量子性の最大の特徴ではあるのでよく使います．

さて，古典確率で重み付いた混合状態を記述するには，コヒーレントな位相関係を破壊してから足してやれば良さそうです．そのためには，射影演算子に古典確率の重みをつけて足してやればよいのです．すなわち，

$$
\begin{align*}
\rho = \sum_i f(\alpha_i) P(\alpha_i)
\end{align*}
$$

のようにして新しい状態を定義し，これを密度演算子と呼びます．ここで，$${\alpha_i}$$は実現しうる状態，$${f(\alpha_i) = \bra{\alpha_i}\rho\ket{\alpha_i}}$$は古典的な確率分布，$${P(\alpha_i)}$$は射影演算子です．各状態$${\alpha_i}$$は別に直交していなくてもよい．

射影演算子は，射影する状態$${\ket{\alpha}}$$に，全体にかかる意味のない位相因子をつけて$${e^{i\phi}\ket{\alpha}}$$としても，対応するブラは$${\bra{\alpha}e^{-i\phi}}$$となるため，

$$
\begin{align*}
P(\alpha) = e^{i\phi}\ket{\alpha} \bra{\alpha}e^{-i\phi} = \ket{\alpha} \bra{\alpha}
\end{align*}
$$

と位相の情報を打ち消しています．したがって，確かにそれらの足し合わせである密度演算子も各ケット間の位相関係には依存しない情報を与えてくれています．物理量，状態ともに射影演算子によって記述できるわけで，射影演算子が量子力学の特徴づけにおいて本質的な役割を果たしていることが感じられることでしょう．

状態が密度演算子で$${\rho = \sum_i f(\beta_i) P(\beta_i)}$$と書けるときに，物理量$${A = \sum_k \alpha_k P(\alpha_k)}$$を測定することを考えます．このときに測定結果が$${\alpha_k}$$となる確率は，状態ケットが$${\ket{\beta}}$$のときに$${\alpha_k}$$を得る確率が$${f(\alpha_k\mid \beta) = \bra{\beta}P(\alpha_k)\ket{\beta}}$$だったことを思い出すと

$$
\begin{align*}
f(\alpha_k) = \sum_i f(\beta_i) \bra{\beta_i}P(\alpha_k)\ket{\beta_i}
\end{align*}
$$

となります．いま，トレースという概念を，任意の演算子$${A}$$に対して正規直交基底$${\ket{k}}$$を用いて

$$
\newcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}}
\begin{align*}
\Tr (A) = \sum_k \bra{k} A \ket{k}
\end{align*}
$$

により定義します．トレースは正規直交基底の取り方には依存せず，また二つの任意の演算子やベクトル$${A,B}$$に対して

$$
\newcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}}
\begin{align*}
\Tr(AB) = \Tr (BA)
\end{align*}
$$

という巡回性を満たします（ただしヒルベルト空間がコンパクトでないと成り立つとは限らないのですが，今はコンパクトな場合を考えています）．この性質を使うと，先の確率に関する結果を変形できて

$$
\newcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}}
\newcommand{\lr}[1]{\left(#1\right)}
\begin{align*}
f(\alpha_k) &= \Tr \lr{\sum_i f(\beta_i) \bra{\beta_i}P(\alpha_k)\ket{\beta_i} }\\
& = \Tr \lr{\sum_i f(\beta_i)\ket{\beta_i} \bra{\beta_i}P(\alpha_k) }\\
&= \Tr (P(\alpha_k) \rho)
\end{align*}
$$

となります．期待値は

$$
\newcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}}
\newcommand{\alr}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}
\begin{align*}
\alr{A} = \Tr (A\rho)
\end{align*}
$$

により計算できることもわかります．

密度演算子に関する性質として，密度演算子のトレースを取ると$${1}$$になるというものがあります．これは

$$
\begin{align*}
\mathrm{Tr} (\rho) =  \sum_i f(\alpha_i) \mathrm{Tr}(P(\alpha_i)) = \sum_i f(\alpha_i) = 1
\end{align*}
$$

から出てくるので，確率の総和が$${1}$$であることを意味しています．

測定理論

測定を行うには普通，測りたい系と測定装置をなんらかの相互作用を通して，着目系の情報を測定装置に転写する必要があります．要請１で，ミクロな状態とマクロな測定装置のどこかに量子力学と古典力学の境目（ハイゼンベルグカット）があるとしましたが，この切断箇所には相当の任意性があるはずです．切断箇所を追いやってしまって，原理的には測定装置も量子力学的な状態と思って状態を記述してみるとどうなるか考えてみましょう．

複合系の状態

二つの系を組み合わせたとき，状態を次のようなテンソル積で書くことにします．つまり，二つの系の状態を$${\ket{\psi}}$$，$${\ket{\mu}}$$としたとき，

$$
\begin{align*}
\ket{\psi}\otimes\ket{\mu}
\end{align*}
$$

のように書きます．これを簡略化して

$$
\begin{align*}
\ket{\psi}\ket{\mu}, \quad \ket{\psi,\mu}
\end{align*}
$$

のような表記もよくあります．このノートでは

$$
\begin{align*}
\begin{matrix}
\ket{\psi}\\
\ket{\mu}
\end{matrix}, \quad
\Ket{\begin{matrix}\psi \\  \mu \end{matrix}}
\end{align*}
$$

のような縦に並べる表記も使っていこうと思います．紙幅をとるせいかあまり見かけない表記ですが，縦に並べると式を一次元的でなく二次元的に拡げて書くことができるため，何がどこに作用するか見やすくなります．

測定器を用いた測定

着目系を$${\ket{\psi}}$$，測定装置を$${\ket{\mu}}$$とし，着目系と測定装置を合わせた系全体$${\ket{\Psi}}$$に関しては閉じた系になっているとして，

$$
\begin{align*}
\ket{\Psi} = \begin{matrix}
\ket{\psi}\\
\ket{\mu}
\end{matrix}
\end{align*}
$$

と書けるとします．状態ベクトルは規格化されているとします．閉じた系に関しては確率は保存されて欲しいことから，時間発展してもベクトルの大きさは$${1}$$のままであって欲しい．いま状態を時間発展させる演算子を仮に$${U}$$とし，その共役量を$${U^{\dagger}}$$とすると

$$
\begin{align*}
\braket{\Psi | \Psi} = \bra{\Psi} U^{\dagger} U \ket{\Psi}
\end{align*}
$$

となって欲しいわけです．したがって，

$$
\begin{align*}
U^{\dagger} U = I
\end{align*}
$$

（$${I}$$は恒等演算子）が成り立ちます．この関係を満たす$${U}$$をユニタリ演算子といいます．閉じた系の時間発展はユニタリ演算子で記述できるはずだと言えます．

測定したい物理量の基底ケットの集合を$${\ket{\alpha_i}}$$として，着目系をこの基底ケットで展開して

$$
\begin{align*}
\ket{\psi} = \sum_i c_i \ket{\alpha_i}
\end{align*}
$$

とします．ただし，$${c_i = \braket{\alpha_i | \psi}}$$です．
測定が理想的な場合（射影測定の場合）は，着目系と測定器が適当な相互作用により時間発展し，

$$
\begin{align*}
\ket{\Psi'} = U\ket{\Psi} = \sum_i c_i \begin{matrix}
\ket{\alpha_i}\\
\ket{\beta_i}
\end{matrix}
\end{align*}
$$

という完全な相関（完全にエンタングルした状態）を作ることに相当します．測定器に対しての射影演算子$${\ket{\beta_k}\bra{\beta_k}}$$を考えることで，測定結果$${\alpha_k}$$を得る確率は，

$$
\newcommand{\lr}[1]{\left(#1\right)}
\begin{align*}
f(\alpha_k) &= \lr{\sum_i c_i\begin{matrix}
\bra{\alpha_i}\\
\bra{\beta_i}
\end{matrix}}
\lr{
\begin{matrix}
\\
\ket{\beta_k}\bra{\beta_k}
\end{matrix}}
\lr{
\sum_j c_j \begin{matrix}
\ket{\alpha_j}\\
\ket{\beta_j}
\end{matrix}}\\
&= |c_k|^2
\end{align*}
$$

となり，これは着目系に対して射影演算子を考えたときと同じ結果を与えるので，辻褄が合っています．

ところが，測定装置がマクロな系だと考えると，測定系が重ね合わせに汚染されており，奇妙に感じられます．これがシュレディンガーの猫と呼ばれる問題です．奇妙だとはいえ量子力学の原理的には猫状態も許されていると言えますが，次節でもう少し現実的に考えます．

情報の廃棄によるコヒーレンスの消失

マクロ的な（古典的な）性質も扱うために，密度演算子で考えましょう．密度演算子を用いれば，我々の無知を反映した記述が可能となるため，測定系や開放系を扱うのに便利です．系全体の時間発展後，先ほど議論した状態の密度演算子は

$$
\newcommand{\lr}[1]{\left(#1\right)}
\begin{align*}
\rho' = \ket{\Psi'}\bra{\Psi'} =
\lr{\sum_i c_i \begin{matrix}
\ket{\alpha_i}\\
\ket{\beta_i}
\end{matrix}}
\lr{
\sum_j c_j \begin{matrix}
\bra{\alpha_j}\\
\bra{\beta_j}
\end{matrix}}
\end{align*}
$$

と書かれるわけですが，実際に私たちが期待したいのは，観測まではどの状態にいるかを「単に知らないだけ」の状態として

$$
\begin{align*}
\rho'' = \sum_i |c_i|^2
\begin{matrix}
\ket{\alpha_i}\bra{\alpha_i}\\
\ket{\beta_i}\bra{\beta_i}
\end{matrix}
\end{align*}
$$

であるはずです．ここにあるギャップはなんでしょうか．

測定器はマクロな物体なので，全ての自由度を追いかけることはできず，情報のほとんどが失われると考えてみます．このような情報の廃棄は，わからなくなった部分空間に対してアンサンブル平均を取るという操作で表すことができます．この操作は数学的には部分トレースを取ることで表せ，

$$
\newcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}}
\begin{align*}
\Tr_{\beta} (\rho) = \sum_i \bra{\beta_i} \rho \ket{\beta_i}
\end{align*}
$$

のように書きます．ここで$${\beta}$$は平均してしまう部分空間のラベルであり，密度演算子$${\rho}$$はその空間よりも一般に大きな空間に属している演算子です．

完全な相関を作った後の密度演算子$${\rho'}$$に対して，測定器に関する部分トレースを取ってしまえば，

$$
\begin{align*}
\rho_{\alpha}' = \sum_i |c_i|^2 \ket{\alpha_i}\bra{\alpha_i}
\end{align*}
$$

という混合状態となり$${\rho''}$$と等価になります．すなわち，情報を廃棄することでコヒーレンスが消失し，古典的な確率分布に帰着できることになります．測定器は，測定が終わった後は何らかの方法でどの状態が実現しているかをメモリしておく装置といえ，上の混合状態のうち，どれか一つの状態が実現していることを着目系に影響なく確認することができます．コヒーレンスの消失と状態の事後確認のこれら二つの過程を合わせると，射影測定に対応しています．

コヒーレンスの消失はエントロピーの増大で定量化することもできます．エントロピーを

$$
\newcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}}
\begin{align*}
S = -\Tr (\rho \ln \rho)
\end{align*}
$$

によって定義します．演算子の対数が出てきますが，演算子を対角化しその対角成分に対して定義すればよい．コヒーレンスの消失前後のエントロピーは

$$
\newcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}}
\begin{align*}
S' &= -\Tr (\rho' \ln \rho') = - 1 \ln 1 = 0\\
S'' &= -\Tr (\rho'{\alpha} \ln \rho'{\alpha}) = - \sum_i |c_i|^2 \ln |c_i|^2
\end{align*}
$$

となって，純粋状態のエントロピーは$${0}$$であるのに対して混合状態はエントロピーが増大しています．

一般の量子過程

ここまで，測定器を用いて射影測定をすることの物理的な過程の詳細を説明してきました．射影測定は着目系と測定系が完全な相関を作る理想的な場合ですが，今度はより一般に，着目系が完全な相関を作るとは限らない場合を考えます．

系全体の一般の状態変化を適当なユニタリ変換で表しておいてから，測定系$${\beta}$$に関してトレースをとってしまうことで，着目系$${\alpha}$$の時間発展が次のように書けます：

$$
\newcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}}
\begin{align*}
\rho_{\alpha}' = \Tr_{\beta} (U\rho U^{\dagger}).
\end{align*}
$$

ここで密度演算子の初期状態が

$$
\begin{align*}
\rho = \begin{matrix}
\rho_{\alpha}\\
\otimes\\
\ket{\mu}\bra{\mu}
\end{matrix}
\end{align*}
$$

のように着目系と測定系に分けられて，測定系については純粋状態であらわされているとしても一般性を失うことはありません．実験者は着目系と測定系を別々に準備するため相関のないテンソル積で書くことは妥当ですし，測定系のヒルベルト空間を大きく取れば純粋状態とすることがいつでもできるためです．この初期状態を時間発展させた結果は

$$
\begin{align*}
\rho_{\alpha}' = \sum_i \begin{matrix}
\\
\bra{\beta_i}
\end{matrix}
U
\begin{pmatrix}
\rho_{\alpha}\\
\ket{\mu}\bra{\mu}
\end{pmatrix}
U^{\dagger}
\begin{matrix}
\\
\ket{\beta_i}
\end{matrix}
\end{align*}
$$

と書けます．ここで，着目系に作用する演算子$${M_i}$$を，測定系の基底$${\ket{\beta_i}}$$に対応する成分として

$$
\begin{align*}
M_i = \begin{matrix}
\\
\bra{\beta_i}
\end{matrix}
U
\begin{matrix}
\\
\ket{\mu}
\end{matrix}
\end{align*}
$$

と定義してしまえば，着目系の時間発展は

$$
\begin{align*}
\rho_{\alpha}' = \sum_i M_i \rho_{\alpha} M_i^{\dagger}
\end{align*}
$$

と書けることになります．この$${M_i}$$をクラウス演算子と呼びます．測定器に情報を流し，その後の詳細な過程は捨ててしまうことで状態の変化がユニタリ演算子ではなくクラウス演算子で書かれるようになります．各クラウス演算子は特定の測定結果に対応した状態変化を表していて，観測結果を見るまではその和で表されます．測定器の基底で観測して測定値$${k}$$を得たとすると，着目系の状態は混合状態のうち一つが抜き出されたことになるので，和を取らずに

$$
\begin{align*}
M_k \rho_{\alpha} M_k^{\dagger}
\end{align*}
$$

が実現していることになる，しかしこれは確率が規格化されていないので規格化すると，

$$
\newcommand{\lr}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}}
\begin{align*}
\rho_{\alpha}'(k) = \frac{M_k \rho_{\alpha} M_k^{\dagger}}{\Tr_\alpha \lr{M_k \rho_{\alpha} M_k^{\dagger}} }
\end{align*}
$$

となります．もし理想的な場合として射影測定なら$${M_i = P(\alpha_i)}$$とクラウス演算子が射影演算子と一致します．この状態を得る確率は，

$$
\newcommand{\lr}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}}
\begin{align*}
f(\alpha_k) = \Tr_{\alpha} \lr{M_k^{\dagger}M_k \rho_{\alpha} }
\end{align*}
$$

と書くことができるわけです．

クラウス演算子は測定後の状態の記述と測定結果を得る確率の両方を記述できますが，測定結果だけに興味がある場合，$${E _k = M_k^{\dagger}M_k }$$という演算子で考える方が便利なことがあります．この演算子を正値演算子に値を取る測度（positive-operator-valued measure，POVM）と呼びます．POVMは測定結果の記述において，射影演算子の代わりに誤差のある測定の場合にも拡張したものと見ることができます．POVMに関する完全性関係が，確率の総和が$${1}$$であることから成り立ちます：

$$
\sum_i M_i^{\dagger}M_i = I.
$$

測定器を私たちが制御できない環境（熱浴）に置き換えて考えることもできます．すると，クラウス演算子は，環境への情報ロスやエネルギー散逸があるような場合の過程も表すことができます．クラウス演算子は，環境の詳細を知らなくても与えられるブラックボックスとして扱えますが，環境との相互作用に基づいて具体的に導出されることもあります．

ここまでの議論で，量子力学での状態や観測とその操作の記述法をみてきたわけですが，これらは情報理論の一種と言えます．情報理論は特に適用範囲に制限があるわけでもないので，元より物理に応用することになんの問題もないことですが，個々の系はどのように特徴づけられ，どういう時間発展をするのかというダイナミックな法則は入っていませんでした．情報理論は言ってみれば「絵のない額縁」のようなもので，額縁のなかに物理らしい絵が収まって初めて物理としての量子力学の理論になると私は感じます．ということで一般論としてのダイナミクスを理論の中に入れることを次回は考えようと思います．

今回のまとめ

準備された状態が完全にはわからないときは，射影演算子を古典的確率で重みづけた形の密度演算子を用いて状態を表現すると便利である．密度演算子は開放系や間接測定理論を扱うときにも便利な表現である．情報を失うことでコヒーレンスが消失することは，部分トレースを取ることによって表すことができる．

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更新履歴
2024. 9. 20 論理に飛躍があった箇所を加筆修正
2025. 1. 10 わかりにくかった文章を修正