ベクトル空間の定義
大学数学を学ぶ上で避けて通れないのは，線型代数のなかでもベクトル空間であろう．「その定義は何か？」と聞かれて，皆さんはどう答えるだろう．たとえば，
「和とスカラー倍とが定義されていて，いくつかの条件を満たすもの…」
と答える人もいるだろう．一方，代数を少し勉強すると，次のように答えることができることが分かる．
ベクトル空間は，体上の加群のことである．
これだけの説明で，初学者にベクトル空間を教えられたとは全く思わないが，実はこの説明は正しい．そこで，どのようにこの説明がなされるのかを解説することにしたい．
代数の復習
$${G}$$を集合とする．写像$${\bullet : G\times G\to G}$$を$${G}$$上の二項演算という．これから，組$${(G, \bullet)}$$に条件を次々に課すことにする．
半群・モノイド
$${(G, \bullet)}$$が半群であるとは，以下を満たすことである．
$$
\forall x, y, z\in G, (x\bullet y)\bullet z=x\bullet(y\bullet z).
$$
これを結合律という．
半群の例は，$${(\mathbb{N}, +)}$$である．但し，$${\mathbb{N}}$$は正の整数全体の集合とする．
$${(G, \bullet)}$$がモノイドであるとは，$${(G, \bullet)}$$が半群で，以下を満たすことである．
$$
\exists e\in G \,\text{s.t.}\, \forall x\in G, x\bullet e=x=e\bullet x.
$$
$${e}$$を$${(G, \bullet)}$$の単位元という．
モノイドの単位元は1つしかないことが分かる．
モノイドの例は，$${(\mathbb{N}\cup \{0\}, +)}$$である．
群
$${(G, \bullet)}$$が群であるとは，$${(G, \bullet)}$$がモノイドで，$${e}$$を$${(G, \bullet)}$$単位元とするとき，以下を満たすことである．
$$
\forall x\in G, \exists y\in G \,\text{s.t.}\, x\bullet y=e=y\bullet x.
$$
$${y}$$を$${x}$$の逆元という．
各元の逆元は1つしかないことが分かる．
群の例は，$${n}$$次対称群である．
$${(G, \bullet)}$$がAbel群(可換群)であるとは，$${(G, \bullet)}$$が群で，以下を満たすことである．
$$
\forall x, y\in G, x\bullet y=y\bullet x
$$
これを交換律という．
Abel群の例は，$${(\mathbb{R}\setminus \{0\}, \times)}$$である．
環
$${R}$$を集合とし，$${+, \cdot}$$を$${R}$$上の二項演算とする．
$${(R, +, \cdot)}$$が環であるとは，$${(R, +)}$$がAbel群で，$${(R, \cdot)}$$がモノイドで，以下を満たすことである．
$$
\forall a, b, c\in R, a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\\\hspace{1.9cm}(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c.
$$
それぞれ左分配律，右分配律という．$${(R, \cdot)}$$の単位元と区別するために，$${(R, +)}$$の単位元を零元という．
環の例は，$${n}$$次実正方行列全体の集合と行列の和，積の組である．
$${(R, +, \cdot)}$$が可換環であるとは，$${(R, \cdot)}$$が交換律を満たす，すなわち以下を満たすことである．
$$
\forall x, y\in G, x\cdot y=y\cdot x
$$
可換環の例は，$${(\mathbb{Z}, +, \times)}$$である．
体
$${(F, +, \cdot)}$$が体であるとは，$${(F, +, \cdot)}$$が可換環であり，$${e\in F}$$を$${(F, \cdot)}$$の単位元とするとき，以下を満たすことである．
$$
\forall x\in F\setminus \{0\}, \exists y\in F \,\text{s.t.}\, x\cdot y=e=y\cdot x
$$
体の例は，$${(\mathbb{R}, +, \times), (\mathbb{C}, +, \cdot)}$$である．但し，$${\cdot}$$は複素数の積とする．
加群
左加群・右加群
$${(R, +, \cdot)}$$を環とする．$${(M, \bm{+}, \bm{s})}$$が$${(R, +, \cdot)}$$上の左加群であるとは，$${(M, \bm{+})}$$がAbel群で，$${\bm{s} : R\times M\to M}$$が写像で，以下を満たすものである．
$${\forall r\in R, x, y\in M, \bm{s}(r, x\bm{+}y)=\bm{s}(r, x)\bm{+}\bm{s}(r, y).}$$
$${\forall r, s\in R, x\in M, \bm{s}(r+s, x)=\bm{s}(r, x)\bm{+}\bm{s}(s, x).}$$
$${\forall r, s\in R, x\in M, \bm{s}(r\cdot s, x)=\bm{s}(r, \bm{s}(s, x)).}$$
$${e\in R}$$を$${(R, \cdot)}$$の単位元とする．$${\forall x\in M, \bm{s}(e, x)=x.}$$
右加群も同様に定義されます．
$${(R, +, \cdot)}$$を環とする．$${(M, \bm{+}, \bm{s})}$$が$${(R, +, \cdot)}$$上の右加群であるとは，$${(M, \bm{+})}$$がAbel群で，$${\bm{s} : M\times R\to M}$$が写像で，以下を満たすものである．
$${\forall r\in R, x, y\in M, \bm{s}(x\bm{+}y, r)=\bm{s}(x, r)\bm{+}\bm{s}(y, r).}$$
$${\forall r, s\in R, x\in M, \bm{s}(x, r+s)=\bm{s}(x, r)\bm{+}\bm{s}(x, s).}$$
$${\forall r, s\in R, x\in M, \bm{s}(x, r\cdot s)=\bm{s}(\bm{s}(x, r), s).}$$
$${e\in R}$$を$${(R, \cdot)}$$の単位元とする．$${\forall x\in M, \bm{s}(x, e)=x.}$$
作用$${\bm{s}}$$をスカラー倍という．
例
$${M_{m, n}(\mathbb{R})}$$で$${m\times n}$$サイズの実行列全体の集合を表す．$${+, \cdot}$$をそれぞれ行列の和，積と定めると，$${(M_{m}(\mathbb{R}), +, \cdot)}$$は環となるのであった．$${\bm{+}, \bm{s}}$$をそれぞれ行列の和，左から$${m}$$次実行列を掛けるものと定めると，$${(M_{m, n}(\mathbb{R}), \bm{+}, \bm{s})}$$は左加群となる．
一方で，右加群とはならない．実際，スカラー倍$${\bm{s}}$$を，$${r\in M_{m}(\R), x\in M_{m, n}}$$に対し，$${\bm{s}(x, r):=rx}$$で定めると，右加群の条件3.を満たさない．例えば，$${m=2, n=1}$$の場合，
$$
r:=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2& 1\end{pmatrix}, s:=\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1& 1\end{pmatrix} \in M_{2}(\R), x:=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\in M_{2, 1}(\R), r\cdot s=\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & -1\end{pmatrix}
$$
$$
\bm{s}(x, r\cdot s)=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}, \bm{s}(x, r)=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \bm{s}(\bm{s}(x, r), s)=\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}
$$
となる．
可換環上の加群
上記の例では，右加群のスカラー倍を，左加群のスカラー倍を用いて定義した．$${M_{2}(\R)}$$は可換環ではないため，上のような反例を作ることができた．一方，可換環$${(\R, +, \cdot)}$$上の左加群$${(M, \bm{+}, \bm{s})}$$は自然に右加群にもなる．$${\sigma : M\times R\to M}$$を，$${r\in R, x\in M}$$に対し，$${\sigma(x, r):=\bm{s}(r, x)}$$と定めると，$${(M, +, \sigma)}$$は$${(R, \cdot, +)}$$上の右加群となる．実際，右加群の条件1.， 2.，4.が成り立つことは明らかであり，条件3.は，
$$
\sigma(\sigma(x, r), s)=\bm{s}(s, \bm{s}(r, x))=\bm{s}(s\cdot r, x)=\bm{s}(r\cdot s, x)=\sigma(x, r\cdot s)
$$
と計算することができる．(3番目の等号に可換環の交換律を用いた．)
そこで，可換環上の左加群のことを，単に加群ということにする．
ベクトル空間の定義
今まで述べたことから
代数の復習から，順番に，半群，モノイド，群，Abel群，環，可換環，体，加群が定義された．これらの内，体と加群との概念を用いると，ベクトル空間を，短い言葉で定義することができる．体は可換環となることに注意する．
$${(F, +, \cdot)}$$を体とする．$${(V, +, \bm{s})}$$が$${(F, +, \cdot)}$$上のベクトル空間(線形空間，線型空間)であるとは，$${(V, +, \bm{s})}$$が$${(F, +, \cdot)}$$上の加群となることである．
従来の定義との比較
大学の授業の最初で習う定義を復習しておこう．
$${(V, \bm{+}, \bm{s})}$$が$${(F, +, \cdot)}$$上のベクトル空間であるとは，$${+}$$が$${V}$$上の演算で，$${\cdot : F\times V\to V}$$が写像で，以下を満たすことである．
$${\forall x, y, z\in V, x\bm{+}(y\bm{+}z)=(x\bm{+}y)\bm{+}z.}$$
$${\exists o\in V \,\text{s.t.}\, \forall x\in V, x\bm{+}o=x=o\bm{+}x.}$$
$${\forall x\in V, \exists y\in V \,\text{s.t.}\, x\bm{+}y=o=y\bm{+}x.}$$
$${\forall x, y\in V, x\bm{+}y=y\bm{+}x.}$$
$${\forall x, y\in V, a\in F, \bm{s}(a, x\bm{+}y)=\bm{s}(a, x)\bm{+}\bm{s}(a, y).}$$
$${\forall x\in V, a, b\in F, \bm{s}(a+b, x)=\bm{s}(a, x)\bm{+}\bm{s}(b, x).}$$
$${\forall x\in V, a, b\in F, \bm{s}(ab, x)=\bm{s}(a, \bm{s}(b, x)).}$$
$${e}$$を$${(F, \cdot)}$$の単位元とする．$${\forall x\in V, \bm{s}(e, x)=x.}$$
我々が今まで整理した用語との対応を見ると次のようになる．
条件1.を満たせば，$${(V, \bm{+})}$$は半群となる．
条件1.，2.を満たせば，$${(V, \bm{+})}$$はモノイドとなる．
条件1.，2.，3.を満たせば，$${(V, \bm{+})}$$は群となる．
条件1.，2.，3.，4.を満たせば，$${(V, \bm{+})}$$はAbel群となる．
条件1.，2.，3.，4.，5.，6.，7.，8.を満たせば，$${(V, \bm{+}, \bm{s})}$$は$${(F, +, \cdot)}$$上の左加群，すなわち$${(F, +, \cdot)}$$上の加群となる．
まとめ
ここまでで，ベクトル空間の定義を，加群の言葉を使い説明することができることを解説した．
初学者に対して，上記の方法と同じようにしてベクトル空間を定義して学ぶのは，あまりおすすめしない．一方，少しでも代数をかじったことがある人に対しおすすめするのは，少しだけ抽象化するだけで，ベクトル空間をきちんと説明することができるし，8つある条件がどのようなものかが整理され，覚えやすくなる利点があるからだ．
誤植などあればご指摘くださると幸いです．
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