R を使って，「わかる」統計！合格！統計検定４級 データの記述(３)中央値
中央値の計算
中央値とは，測定値を小さい値から大きい値へ並び替えたとき，中央にくる測定値のことをいいます。
以下は，コロナ前のある中学校の1年生の体重です。このデータの中央値を求めましょう。
34, 37, 38, 45, 47, 52, 61
7個の測定値があれば，真ん中は4番目です。この場合，中央値は 45 です。
一般化
それでは，中央値の算出を一般化しましょう。
測定値を変数 n であらわします。
n = 1 の場合
測定値が1個の場合の中央値を考えます。測定値も変数にしましょう。
$${x_{1}}$$
測定値は1個しかありません。中央に来る測定値は $${x_{1}}$$ になります。
n = 1 の場合，中央値に来る測定値は $${x_{1}}$$
n=3 の場合
測定値が偶数の場合，つまり，n=2, n=4, n=6 などの場合は，中央に来る測定値がありません。この場合はどのように中央値を算出するかは後ほど考えましょう。とりあえず，考えやすい，奇数，n=3 の場合を考えましょう。
$${x_{1}, x_{2}, x_{3}}$$
n = 3 の場合，中央値に来る測定値は $${x_{2}}$$
であることは，すぐわかりますね。
n=5 の場合
n=5，つまり以下の場合を考えましょう。
$${x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}}$$
n = 3 の場合，中央値に来る測定値は $${x_{3}}$$
となります。
規則性をみつける
これまでの３つの場合を並べて眺めてみましょう。
n = 1 の場合，中央値に来る測定値は $${x_{1}}$$，添え字は 1
n = 3 の場合，中央値に来る測定値は $${x_{2}}$$，添え字は 2
n = 5 の場合，中央値に来る測定値は $${x_{3}}$$，添え字は 3
ここで，変数 n を与えたら，中央値に来る測定値の添え字（ 例えば，$${x_{1}}$$の１のこと）が何になるか教えてくれる式を考えてみましょう。
例えば，次のような式を考えることができます。他の式を考えることも，もちろんできます。
$${\frac{n+1}{2}}$$
変数 n に好きな数，つまり測定値の数を入れることで，中央値に来る測定値の添え字の数字を知ることができます。
測定値が奇数の場合は，次のように中央値を求めることができます。
測定値が奇数の場合，$${x_{\frac{n+1}{2}}}$$
次に，測定値が偶数の場合を考えていきましょう。
n=2 の場合
次のような場合です。
$${x_{1}, x_{2}}$$
この場合，中央に来る測定値がありません。仕方がないので，中央値は，$${x_{1}}$$ と$${x_{2}}$$ の間にあると考えることにします。仮に，次のように求めることにします。
$${\frac{x_{1} + x_{2}}{2}}$$
n = 2 の場合，中央値に来る測定値は $${\frac{x_{1} + x_{2}}{2}}$$
n=4 の場合
次のような場合です。
$${x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}}$$
n=2 と同様，次のように中央値を求めます。
$${\frac{x_{2} + x_{3}}{2}}$$
n = 4 の場合，中央値に来る測定値は $${\frac{x_{2} + x_{3}}{2}}$$
n=6 の場合
次のような場合です。
$${x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}}$$
n=2, n=4 と同様，次のように中央値を求めます。
$${\frac{x_{3} + x_{4}}{2}}$$
n = 6 の場合，中央値に来る測定値は $${\frac{x_{3} + x_{4}}{2}}$$
規則性をみつける
再び，これまでの場合を書き出してみましょう。
n = 2 の場合，中央値に来る測定値は $${\frac{x_{1} + x_{2}}{2}}$$
n = 4 の場合，中央値に来る測定値は $${\frac{x_{2} + x_{3}}{2}}$$
n = 6 の場合，中央値に来る測定値は $${\frac{x_{3} + x_{4}}{2}}$$
規則性を見出すことはできましたか。測定値 n が偶数の場合，n から中央値は次のように求めることができそうです。
測定値が偶数の場合，$${\frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}}$$
まとめ
以上をまとめると，中央値の求め方は次のように一般化できることがわかります。
測定値が奇数の場合，$${x_{\frac{n+1}{2}}}$$
測定値が偶数の場合，$${\frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}}$$
特にこの式を覚える必要はありません。中央値は測定値を小さい順に並べたとき，真ん中にくる測定値だと覚えておくだけで十分です。
練習
$${ \lbrace 0, 1, 2, 4, 5 \rbrace }$$ のとき，中央値を計算しなさい。
答え
測定値の数は 5 です。$${ \frac{5+1}{2}=3}$$ なので，3番目に来る 2 が答えです。
$${ \lbrace 1, 2, 0, 3,5 \rbrace }$$ のとき，中央値を計算しなさい。
答え
（不安なひとはコメント欄に答えを書き込んでみましょう）
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