「極限値」を求めるときのハウツー(解き方を私が整理する意味も込めて)

みなさんこんにちは、ゆーきゃんです。
普段は中学生向けの学習解説を行っていますが、noteでは、高校生・浪人生にも役立つ内容を発信していこうと思います。
今回のテーマは、「極限値」の求め方についてです。
旧帝大や早慶をはじめとした難関大の理系数学ではこぞってよく出題される内容ですが、苦手意識を感じる人も多いでしょう。
そこで、私なりにこの問題の解き方を整理してみましたので、是非お役立てください。

「極限値」を求める際の基本方針

「極限値」を求める際の基本方針を整理すると、次のようになるでしょうか。

• 「直接求める」…「根号を含む式の極限値」や「$${\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x}}$$を利用した極限値計算」など直接的に極限値を計算できる。

• 「はさみうちの原理」…「入試によく出る」のはこの解き方で、評価したい式を同じ極限値を持つ式で上と下からおさえるやり方。

• 「区分求積法」…無限級数を求めるときに使える解き方。

$$
\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n})=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f(\frac{k}{n})=\int_{0}^{1} f(x)dx
$$

その他、「微分」の定義を用いたり、「自然対数」をとるやり方などもあります。
今回は「ざっくりと」解き方を整理しているため、これらを除外してしまっていることをご了承ください。
正直、実際の入試で「直接求める」解き方のみしか用いない問題が出題されるのはかなりレアです(高校の定期試験ではよく出ますが)。
たいていの場合、入試で「極限値を求めよ」といわれたら、「はさみうちの原理」を使って解くと思ってもらっても構いません。
ですので、以下では「はさみうちの原理」の肝となる「不等式」の作り方について詳しく見ていくことにします。