【算数・数学備忘録179】

剰余の定理と因数定理

整式P(x)をx-aで割ったときの余りはP(a)という性質がある。
これが剰余の定理である。

整式P(x)=x^3-4x^2-x-7をx+3で割った時のあまりを求める。
まずはPを(-3)にする。

P(-3)=(-3)^4-4・(-3)^2-(-3)-7=-67となる。

整式P(x)がx-aで割り切れる⇔P(a)=0という性質がある。
これが因数定理である。

因数定理を使ってx^3-4x^2+x+6を因数分解する。
6の約数のなかからx=2を選択する。

P(2)=2^3-4・2^2+2+6=0となるのでP(x)はx-2で割れる。
x^3-4x^2+x+6÷x-2=x^2-2x-3となる。

x^3-4x^2+x+6=(x-2)(x^2-2x-3)=(x-2)(x+1)(x-3)
順番を並べて(x+1)(x-2)(x-3)となる。