数列２（すこし複雑な漸化式）

※これは高校で習う数列の分野をまとめなおした記事の２つめです。
※誤植がありましたらコメントお願いいたします。

0.前回

１．もう少し複雑な漸化式

1.1.３項間漸化式

・漸化式$${a_{n+2}=ca_{n+1}+da_n\cdots (1)}$$の一般項を考える。
・まずこの漸化式を$${a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)\cdots(2)}$$の形にしたい。

・$${(2)}$$を計算すると、$${a_{n+2}=(\alpha + \beta)a_{n+1}-\alpha \beta a_n}$$となるので、式$${(1)}$$と比べると、$${c=\alpha + \beta}$$、$${d=-\alpha \beta}$$。
・ここで二次方程式の解と係数の関係から、$${\alpha, \beta}$$は$${x}$$の二次方程式$${x^2-cx-d=0}$$の解であることがわかる。

・以下、$${\bm{a_1=a, a_2=a'}}$$とする。
・（ケース１）$${x^2-cx-d=0}$$が異なる2つの解$${\alpha,\beta}$$をもつ場合
・漸化式$${a_{n+2}=ca_{n+1}+da_n}$$は以下の2通りに式変形できる。

$$
\begin{alignat*}{2}
a_{n+2}-\alpha a_{n+1}&=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n) \cdots (3)\\
a_{n+2}-\beta a_{n+1}&=\alpha (a_{n+1}-\beta a_n) \cdots (4)
\end{alignat*}
$$

・$${(3),(4)}$$はそれぞれ数列$${\{a_{n+1}-\alpha a_n\},\{a_{n+1}-\beta a_n\}}$$の漸化式であるとみなせて、漸化式の形からどちらも等比数列だとわかるので、次のように表される。

$$
\begin{alignat*}{2}
a_{n+1}-\alpha a_n&=(a'-\alpha a)\beta ^{n-1}\cdots (3')\\
a_{n+1}-\beta a_n&=(a'-\beta a)\alpha ^{n-1} \cdots (4')
\end{alignat*}
$$

・$${(3')-(4')}$$を計算すると

$$
\begin{alignat*}{2}
(\beta-\alpha) a_n=(a'-\alpha a)\beta ^{n-1}- (a'-\beta a)\alpha ^{n-1}\\
\therefore \ a_n=\frac{a'-\alpha a}{\beta-\alpha}\beta ^{n-1}- \frac{a'-\beta a}{\beta-\alpha}\alpha ^{n-1}
\end{alignat*}
$$

・（ケース２）$${x^2-cx-d=0}$$が重解$${\alpha}$$をもつ場合
・漸化式$${a_{n+2}=ca_{n+1}+da_n}$$は下のように式変形できる。

$$
a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\alpha a_n) \cdots(5)
$$

・$${(5)}$$の式は等比数列$${\{a_{n+1}-\alpha a_n\}}$$の漸化式とみなせるので、

$$
\begin{alignat*}{2}
a_{n+1}-\alpha a_n&=(a'-\alpha a)\alpha^{n-1} \\
a_{n+1}&=\alpha a_n+(a'-\alpha a)\alpha^{n-1} \cdots(5')
\end{alignat*}
$$

・$${\alpha =0}$$の場合、$${a_n=0}$$となることは$${(5')}$$に代入すればすぐにわかる。
・$${\alpha \neq 0}$$の場合、数列$${\{b_n\}}$$を$${b_n=\dfrac{a_n}{\alpha^{n-2}}}$$と定めると、式$${(5')}$$から

$$
b_{n+1}=b_n+(a'-\alpha a) \cdots(6)
$$

・式$${(6)}$$から数列$${\{b_n\}}$$は初項$${a\alpha}$$、公差$${(a'-\alpha a)}$$の等差数列だとわかるので、一般項は$${b_n=a\alpha+(n-1)(a'-\alpha a)}$$。
・すなわち
$${a_n=a\alpha^{n-1}+(n-1)(a'-\alpha a)\alpha^{n-2}=(n-1)a'+(n-2)a\alpha^{n-1}}$$

・以前も言ったが、上で求めた公式を覚えるよりその計算過程を覚えるほうが大事である。

例１：$${a_1=1,a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n}$$の一般項を考える。
・方程式$${x^2-x-1=0}$$の解は$${x=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}}$$となるので、上の漸化式は下の２通りに式変形できる。

$$
\begin{alignat*}{2}
a_{n+2}-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n+1}&=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \Bigg(a_{n+1}-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} a_n\Bigg) \cdots (7)\\
a_{n+2}-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} a_{n+1}&=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \Bigg(a_{n+1}-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} a_n\Bigg) \cdots (8)
\end{alignat*}
$$

・上の２式はそれぞれ数列$${\Bigg\{a_{n+1}-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} a_n\Bigg\},\Bigg\{a_{n+1}-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} a_n\Bigg\}}$$の漸化式だとみなせて、漸化式の形からどちらも等比数列だとわかるので、それぞれの一般項は

$$
a_{n+1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2} a_n=\Bigg(1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigg)\Bigg(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\Bigg) ^{n-1}=\Bigg(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\Bigg) ^n \cdots (7')\\
a_{n+1}-\frac{1-\sqrt{5}}{2} a_n=\Bigg(1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\Bigg)\Bigg(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigg) ^{n-1}=\Bigg(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigg) ^n \cdots (8')
$$

・$${(8')-(7')}$$から

$$
\Bigg(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\Bigg)a_n=\Bigg(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigg)^n-\Bigg(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\Bigg)^n\\
\therefore \ a_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Bigg(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigg)^n-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Bigg(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\Bigg)^n
$$

問１：次の３項間漸化式で与えられる数列$${\{a_n\}}$$の一般項をもとめよ。
(1)$${a_1=1,a_2=4,a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_n}$$
(2)$${a_1=0,a_2=1,a_{n+2}=2a_{n+1}-1a_n}$$

1.2.２つの数列からなる漸化式

・今度は次のような漸化式を考える。

$$
\begin{cases}
a_1&=a, b_1=b\\
a_{n+1}&=ca_n+db_n \\
b_{n+1}&=ea_n+fb_n
\end{cases}
$$

・このような漸化式を連立漸化式という
・一般の連立漸化式について議論するのはいままでの漸化式より難しいので、以下の演習問題を通して考え方を身に着けてほしい

問２：次の連立漸化式の一般項をもとめよ。ただし、誘導にしたがって解いてもよい。

$$
(1)
\begin{cases}
a_1&=3, b_1=1\\
a_{n+1}&=3a_n+b_n \cdots (\text{i})\\
b_{n+1}&=a_n+3b_n \cdots (\text{ii})
\end{cases}
$$

(1,1) 上の２つの式$${(\text{i}),(\text{ii})}$$について$${(\text{i})-(\text{ii})}$$を計算し、その計算結果から数列$${\{a_n-b_n\}}$$の漸化式を求めよ。
(1,2) 数列$${\{a_n-b_n\}}$$の漸化式と初項から$${a_n-b_n}$$を求めよ。さらに、その計算結果と式$${(\text{ii})}$$から、数列$${\{b_n\}}$$の漸化式を求めよ。
(1,3) ここで新たに数列$${\{c_n\}}$$を$${c_n=\dfrac{b_n}{2^{n-1}}}$$と定めるとき、$${\{c_n\}}$$の漸化式と一般項をそれぞれ求めよ。
(1,4) 数列$${\{b_n\}}$$の一般項を求めよ。
(1,5) (1,2)で求めた$${a_n-b_n}$$と(1,4)の結果から、数列$${\{a_n\}}$$の一般項を求めよ。

$$
(2)
\begin{cases}
a_1&=5, b_1=1\\
a_{n+1}&=5a_n-3b_n \\
b_{n+1}&=a_n+b_n
\end{cases}
$$

(2,1) 数列$${\{a_n-b_n\},\{a_n-3b_n\}}$$の漸化式と初項をそれぞれ求めよ。
(2,2) 数列$${\{a_n-b_n\},\{a_n-3b_n\}}$$の一般項をそれぞれ求めよ。
(2,3) 数列$${\{a_n\},\{b_n\}}$$の一般項をそれぞれ求めよ。

・問２の誘導のように、連立漸化式について考えるときは、数列$${\bm{\{a_n-kb_n\}}}$$が等比数列になるような$${\bm{k}}$$を考え、$${\{a_n-kb_n\}}$$の一般項から$${\{a_n\},\{b_n\}}$$の一般項を計算する。

1.3.その他の漸化式について

・いろいろな漸化式があるが、全部は紹介しない。
・この節でも演習問題をとおして様々な漸化式の解き方を紹介する。

問３（分数型漸化式）：次の漸化式で表される数列の一般項をもとめよ。ただし、誘導に従って解いてもよい。
(1)$${a_1=1,a_{n+1}=\dfrac{a_n}{a_n+1}}$$
 (i)数列$${\{b_n\}}$$を$${b_n=\dfrac{1}{a_n}}$$と定めるとき、$${\{b_n\}}$$の漸化式と初項を求めよ。
 (ii)数列$${\{b_n\}}$$の一般項をもとめ、そこから数列$${\{a_n\}}$$の一般項を求めよ。

(2)$${a_1,a_{n+1}=\dfrac{3a_n+2}{4a_n+5}}$$
 (i)$${\alpha a_{n+1}-\beta =\dfrac{\alpha a_n-\beta}{4a_n+5}}$$を満たす組$${(\alpha,\beta)}$$の１つを求めよ。
 (ii)数列$${\{b_n\}}$$を$${b_n=\dfrac{1}{\alpha a_n-\beta}}$$と定めるとき、$${\{b_n\}}$$の漸化式と初項を求めよ。
 (iii)数列$${\{b_n\}}$$の一般項をもとめ、そこから数列$${\{a_n\}}$$の一般項を求めよ。

問４（平方根や累乗を含む漸化式）：次の漸化式で表される数列の一般項をもとめよ。ただし、誘導に従って解いてもよい。
(1)$${a_1=2, a_{n+1}=2\sqrt{a_n}}$$
 (i)すべての$${n}$$に対し、$${a_n>0}$$を示せ。（ざっくりでよい）
 (ii)数列$${\{b_n\}}$$を$${b_n=\log_2 a_n}$$と定めるとき、$${\{b_n\}}$$の漸化式と初項を求めよ。
 (iii)数列$${\{b_n\}}$$の一般項をもとめ、そこから数列$${\{a_n\}}$$の一般項を求めよ。

(2)$${a_1=-4, a_{n+1}=-\dfrac{1}{2}a_n^2}$$
 (i)すべての$${n}$$に対し、$${a_n<0}$$を示せ。
 (ii)数列$${\{b_n\}}$$を$${b_n=\log_2 |a_n|}$$と定めるとき、$${\{b_n\}}$$の漸化式と初項を求めよ。
 (iii)数列$${\{b_n\}}$$の一般項をもとめ、そこから数列$${\{a_n\}}$$の一般項を求めよ。

以上