第16回 これだけ！極限1（微分積分）
前回までは線形代数についていろいろと学んできました。まだ学んでない方は、ぜひ下のリンクから学んでみましょう！
この回からは微分積分についてざっくり学んでいきましょう。今回は極限とはなんぞやというお話です。
１．極限とは
４つ覚えましょう。
（１）実数xが定数aに限りなく近づいたとき、関数f(x)が一定値bに近づくことを、
$$
\lim\limits_{x→a}f(x)=b
$$
と書き、「x→aのときf(x)はbに収束する」と表現し、bはx→aのときのf(x)の$${\bold{極限値}}$$といいます。
（２）実数xが定数aに限りなく近づいたとき、関数f(x)がどこまでも大きな値となるとき、
$$
\lim\limits_{x→a}f(x)=\infty
$$
と書き、「x→aのときf(x)は無限大に発散する」と表現します。
（３）実数xが定数aに限りなく近づいたとき、関数f(x)がどこまでも大きな値となるとき、
$$
\lim\limits_{x→a}f(x)=-\infty
$$
と書き、「x→aのときf(x)は負の無限大に発散する」と表現します。
（４）実数xがどこまでも大きな値となるとき、関数f(x)が一定値bに近づくことを、
$$
\lim\limits_{x→\infty}f(x)=b
$$
と書き、「x→$${\infty}$$のときf(x)はbに収束する」と表現し、bはx→$${\infty}$$のときのf(x)の$${\bold{極限値}}$$といいます。
つまり、f(x)について、xがある値に近づくときにf(x)がある一定の有限の値に近づくとき、その有限の値を「極限（値）」というわけです。
一方で、f(x)が一定の値に収束せず、でたらめに大きい正の値（or負の値）となるときを「発散する」とよびます。ちなみに、f(x)が一定に定まらまいものを「振動する」といいます。まずは極限と発散という言葉の意味を覚えましょう。
２．極限の例
いくつかの例を紹介します。
$$
\lim\limits_{x→0}\frac{x+1}{x^2+3}=\frac{1}{3}
$$
$$
\lim\limits_{x→\infty}\frac{1}{x}=0
$$
$$
\lim\limits_{x→\infty}e^x=\infty
$$
$$
\lim\limits_{x→-\infty}e^x=0
$$
$$
\lim\limits_{x→\pi}\cos{x}=-1
$$
では次の極限はどうなるでしょう？
$$
\lim\limits_{x→\infty}\sqrt{x^2+x+1}-x
$$
$${\sqrt{x^2+x+1}}$$は$${\infty}$$、$${x}$$も$${\infty}$$になるので、$${\infty-\infty}$$は…?とても大きい数からとても大きい数を引く？よくわかりませんね。
３．不定形の解き方
$$
\lim\limits_{x→\infty}\sqrt{x^2+x+1}-x
$$
のように一見極限が定まらないような形を「不定形」と呼んだりします。この不定形には様々な種類がありますが、これらをどうすれば解けるようになるのか、簡単なものから一つずつ見ていきましょう。
（１）$${\frac{\infty}{\infty}}$$型
$$
\lim\limits_{x→\infty}\frac{x+1}{x+3}
$$
このように分母も分子も多項式で無限になる形、よく出てきます。
こういう場合は分子の最高次の項で分母分子をそれぞれ割ります。
上の例の場合、分子の最高次の項は$${x}$$です。つまり、
$$
\lim\limits_{x→\infty}\frac{x+1}{x+3}=\lim\limits_{x→\infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}
$$
ここで
$$
\lim\limits_{x→\infty}\frac{1}{x}=0
$$
このような形（反比例のような形）の関数は0に収束するので、
$$
\lim\limits_{x→\infty}\frac{x+1}{x+3}=\lim\limits_{x→\infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}=1
$$
と求まりますね。
（２）$${\infty-\infty}$$型
$$
\lim\limits_{x→\infty}\sqrt{x^2+x+1}-x
$$
このような形は有理化することで$${\frac{\infty}{\infty}}$$型に変形することが攻略のカギとなります。上の式を有理化すると、
$$
\lim\limits_{x→\infty}\sqrt{x^2+x+1}-x=\lim\limits_{x→\infty}(\sqrt{x^2+x+1}-x)\frac{\sqrt{x^2+x+1}+x}{\sqrt{x^2+x+1}+x}
\\=\lim\limits_{x→\infty}\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+x}
$$
これで$${\frac{\infty}{\infty}}$$型に変形することができました。後は、
$$
\lim\limits_{x→\infty}\sqrt{x^2+x+1}-x=\lim\limits_{x→\infty}\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+x}\\=\lim\limits_{x→\infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}=\frac{1}{2}
$$
と求まります。
（３）$${\frac{0}{0}}$$型
$$
\lim\limits_{x→1}\frac{x^2+x-2}{2x^2-x-1}
$$
分母と分子が多項式でどちらも0に収束します。このような形は因数分解してみましょう。
$$
\lim\limits_{x→1}\frac{x^2+x-2}{2x^2-x-1}=\lim\limits_{x→1}\frac{(x+2)(x-1)}{(2x+1)(x-1)}\\=\lim\limits_{x→1}\frac{x+2}{2x+1}=1
$$
と求めることができます。
４．宿題
次の極限を求めましょう。答えは次回の冒頭で！
（１）
$$
\lim\limits_{x→\infty}\frac{3^x-2^x}{5^x-4^x}
$$
（２）
$$
\lim\limits_{x→1}\frac{x^n-1}{x-1} (nは任意の整数)
$$
５．もっと宿題！
さっきの宿題簡単すぎだよ！という方、こちらも挑戦してみてください。
（１）
$$
\lim\limits_{x→0}\frac{\sin x}{x}
$$
（２）
$$
\lim\limits_{x→0}\frac{1-\cos x}{x^2}
$$
（３）
$$
\lim\limits_{x→\infty}x\tan(\frac{1}{x})
$$
（４）
$$
\lim\limits_{x→\infty}(1-\frac{1}{x})^x
$$
まとめ
今回は極限とは何か？簡単な関数の極限の求め方を解説しました。次回はもっと複雑な関数の極限の求め方を解説します。極限はこの先に学ぶ微分を理解するために必要ですので、しっかり学習しましょう！
次回はこちら↓
参考文献はこちら。ぜひ手に取って勉強してみてください。