【日記】線形代数をなんやかんやする③
前回までに覚えたこと
n次元ベクトル。
ベクトルには虚数や複素数を入れてもいい。
複素数はz=a+bi。複素共役はz(バー)=a-bi。
ベクトルの成分を全て複素共役にしたものが複素共役ベクトル。
実数だけのベクトルは実ベクトル。
実ベクトルを複素共役ベクトルにしても全く変わらない。
実数は複素共役してもその実数のままになるので。
ベクトルa,bの内積の求め方。
abいずれかのベクトルを複素共役ベクトルにして各要素を掛け合わせたものの総和。
総和が0になるベクトルを直交していると言う。
ここから続き。
ベクトルのノルム(大きさ)について。
ノルムってどういう意味だ。
解析学において、ノルム (英: norm, 独: Norm) は、平面あるいは空間における幾何学的ベクトルの "長さ" の概念の一般化であり、ベクトル空間に対して「距離」を与えるための数学の道具である。ノルムの定義されたベクトル空間を線型ノルム空間または単にノルム空間という。
…なるほど分からん。
そのうち理解できるようになるだろうから一旦スルー。
同じベクトル同士の内積の平方根か。割と簡単。
例えばa=(1,2,3)なら、ノルムは1×1+2×2+3×3=14の平方根で√14だ。
複素数を入れたやつでも試してみるか。
a=(i,2,3+i)だとi×-i+2×2+(3+i)×(3-i)=-i^2+4+9-iの平方根で、√-i^2+13-iかな？
こんな微妙なことになる？？
GPTさんに聞いてみよう。
GPTさんとの会話
唯坂「こんにちは。ベクトルのノルムについて聞きたいですが、ノルムの求め方知ってますか？」
GPT「はい、ベクトルのノルムにはいくつかの種類があります。一般的に使用されるのはユークリッドノルムです。これは、ベクトルの各要素の二乗の和の平方根です。他にも、マンハッタンノルムやチェビシェフノルムなどがあります。それぞれのノルムは、異なる距離の測定方法を提供します。」
用語を増やすな！！
各要素の二乗の和の平方根ってことは、これがさっき覚えたノルムのことか。
複素数を含んでたら二乗ではないが、実ベクトルの場合なら矛盾ない説明なのでユークリッドノルムで大丈夫だろう。多分。
唯坂「じゃあユークリッドノルムでお願いします。
(1,2,3)←このベクトルのノルムを求めてください。」
GPT「与えられたベクトル (1, 2, 3) のユークリッドノルムを求めるためには、各要素の二乗の和を計算し、その平方根を取ります。
具体的には、
ノルム = √(1^2 + 2^2 + 3^2)
計算すると、
ノルム = √(1 + 4 + 9) = √14
したがって、ベクトル (1, 2, 3) のユークリッドノルムは √14 です。」
正解だ。
唯坂「それでは、(i,2,3+i)←このベクトルだとノルムはどうなりますか？」
GPT「与えられたベクトル (i, 2, 3+i) のノルムを求めるためには、各要素の絶対値の二乗の和を計算し、その平方根を取ります。
具体的には、
ノルム = √(|i|^2 + |2|^2 + |3+i|^2)
ここで、|i| = 1 です。また、複素数の絶対値の二乗は、その複素数とその複素数の複素共役の積に等しいので、|3+i|^2 = (3+i)(3-i) = 9 + 3i - 3i - i^2 = 9 + 1 = 10 です。
したがって、
ノルム = √(1^2 + 2^2 + 10)
= √(1 + 4 + 10)
= √15
したがって、ベクトル (i, 2, 3+i) のユークリッドノルムは √15 です。」
…待って。そもそも多項式の乗法が怪しいじゃん僕。
(3+i)(3-i)は9-iじゃないぞ。
もはや中学数学！！！！
正しくは9-3i+3i-i^2か。
しかもi^2って-1じゃん。
一昨日虚数は√-1って話したとこなのに。
ほんで諸々合計して√15か。
不安が残る結果になったので、改めて別のベクトルで練習しなおしてみる。
(i,3,2+i)なら1+9+4+1で√15か。
…また√15？
不安になりつつ、GPTさんに聞いてみよう。
唯坂「(i,3,2+i) このベクトルのノルムはいくつですか？」
GPT「与えられたベクトル (i, 3, 2+i) のユークリッドノルムを計算します。ノルムの計算には各要素の絶対値の二乗の和の平方根を用います。
具体的には、
ノルム = √(|i|^2 + |3|^2 + |2+i|^2)
ここで、|i| = 1、|3| = 3、および、|2+i|^2 = (2+i)(2-i) = 4 + 2i - 2i - i^2 = 4 + 1 = 5 です。
したがって、
ノルム = √(1^2 + 3^2 + 5)
= √(1 + 9 + 5)
= √15
したがって、ベクトル (i, 3, 2+i) のユークリッドノルムは √15 です。」
よかった。
ちょっと手間取ったので今日はここまで。
今日覚えたこと:
n次元ベクトルのノルムの求め方、同じベクトル同士の内積の平方根。
近況
データサイエンティスト検定の勉強のつもりで線形代数を基礎から覚えている。
今日本屋に行ったら対策問題集を見つけたので買ってみた。
早速着手したいが、せっかく始めた線形代数がグチャグチャになりそうなので今やってる資料が終わったら本格的に読もうかな。