準直既約分解可能性

ここまで３回にわたって準直積と、準直積の既約性（準直既約）という概念を定義し、いくつか例を見て来た。

代数系が準直積の形に分解され、そして準直既約であればもうこれ以上の有意な分解を持ちえない。

ではいつでも準直既約の形に分解できるのか、そして分解できるならば一意的かという疑問が湧いてくる。

今回は、まず分解できたとしても一意的とは限らない例を先にみよう。次に実はいつでも準直既約なものの準直積に分解が可能であることを証明しよう。

なお証明中の注意事項については証明の後に説明を補足した。

１．準直既約分解の一意的でない例

準直既約への準直積分解が一意的でない例から先にみよう。

以前に準直積の例で、アーベル群（ℤ，＋）を、すべての素数ｐの(modｐ)による剰余群ℤ／(modｐ)で準直積になる話をみた。

そして（ℤ／(modｐ)，＋）は準直既約なアーベル群であった。

例えば、ℤはこれら準直既約なものの準直積として次のように２通りがある：

　ℤ≅Π(ℤ／(modｐ))　
　　　（Πはｐ≧２は素数を小さいものから順に１つ飛ばしで動く）
　　≅(ℤ／(mod２))×(ℤ／(mod５))×(ℤ／(mod１１))×(ℤ／(mod１７))×･･･

と、

　ℤ≅Π(ℤ／(modｐ))
　　（Πはｐ≧３は素数を小さいものから順に１つ飛ばしで動く）
　　≅(ℤ／(mod３))×(ℤ／(mod７))×(ℤ／(mod１３))×(ℤ／(mod１９))×･･･

実際、上記２つの直積Πのわたっているｐの集合をそれぞれ「このような」ということすれば、形式的に次にようにして証明で与えられる：

　　　(ｘ，ｙ)∈⋂(modｐ)　（⋂を「このような」素数ｐ全てわたる）
　⇔　このような全てのｐで、ｘ－ｙ∈ｐℤ
　⇔　ｘ＝ｙ　　･･･（★１）
より、
　⋂(modｐ)＝Δ
となる。

【（★１）の証明】
　（⇒）について示す。
　ｘ－ｙ≠０であれば、例えばａ＝ｘ－ｙ＞０として
　　ｐ＞ａ
　となる素数ｐが存在し（「このような」素数ｐが無限にあるからよい）、
　　　ａ∈ｐℤ
　である。
　これはａ＝０でなければならないから矛盾する。■

このように「完全に」相異なる２通りの準直既約なものの準直積がある。

２．準直既約分解可能性

【定理】
任意の空でない代数系は準直既約な準直積である。

【証明】
まず、代数系Ａの元が１点しかないならば、０個の直積（※注意１）で表されるからよい。

次に、Ａが相異なる２元ａ，ｂをもつとする。(ａ，ｂ)を含まないＡ上の合同関係すべてから成る集合をＳ(ａ，ｂ)とおく。Ｓ(ａ，ｂ)の任意の全順序部分集合Ｔについて、Ｔの元すべてから成る集合の和集合α：
　α＝⋃τ　（⋃はτ∈Ｔを動く）
を考える。

αはＡ上の２項関係で、次のように定義される：
　(ｘ，ｙ)∈α　⇔　あるτ∈Ｔが存在して、(ｘ，ｙ)∈τ
従って、αの反射律は、反対称律はこの定義から従い、推移律は全順序Ｔから従い、よってαはＡ上の同値関係である。

さらに、Ａの任意の演算（ただし「有限」演算を考えている）はＴが全順序だから、αと両立することが従う。

以上からαはA上の合同関係である。

加えて、(ａ，ｂ)∉αもα定義から従う。よって、α∈Ｔとなる。

ゆえに、ツォルンの補題（※注意２）よりＳ(ａ，ｂ)に極大元θ[ａ，ｂ]が存在する。

{θ[ａ，ｂ]∈Con(Ａ)｜ａ≠ｂ}の下限をθとおくと、
　　　(ｘ，ｙ)∈θ　
　⇔　全ての相異なる２元ａ，ｂで、(ｘ，ｙ)∈θ[ａ，ｂ]
　⇔　ｘ＝ｙ　･･･（＊）

上の（＊）の（⇒）は、もし(ｘ，ｙ)∈θでｘ≠ｙとなるものがあれば特に
　(ｘ，ｙ)∈θ[ｘ，ｙ]
となる。これはθ[ｘ，ｙ]∈Ｓ(ｘ，ｙ)に反する。

従って、
　θ＝Δ
である。

これはＡが族{Ａ／θ[ａ，ｂ]｜ａ≠ｂ}の準直積であることを意味する。

あとは、各Ａ／θ[ａ，ｂ]が準直既約であることを示せば定理の証明が終わる。

即ち、合同束の言葉で言い換えれば、
　Con(Ａ／θ[ａ，ｂ])－{Δ}
に最小限があることを示せばよい。

これにはすべてのψ’∈Con(Ａ／θ[ａ，ｂ])－{Δ}に関する共通部分
　⋂ψ’　（⋂はΔ≠ψ’∈Con(Ａ／θ[ａ，ｂ])を動く）
がΔにならないことを見ればよい。

ここで第２同型定理（合同束）（※注意３）より、
　Con(Ａ；⊃θ[ａ，ｂ])　≅　Con(Ａ／θ[ａ，ｂ])　
　　　　　ψ　　　　　　↔　　ψ／θ[ａ，ｂ]
であるから、この１：１対応を通して
　⋂ψ　（⋂はθ[ａ，ｂ]≠ψ∈Con(Ａ；⊃θ[ａ，ｂ])を動く）
がθ[ａ，ｂ]にならないことを見ればよい。

　　　(ｘ，ｙ)∈⋂ψ　
　　　（⋂はθ[ａ，ｂ]≠ψ∈Con(Ａ；⊃θ[ａ，ｂ])を動く）
　⇔　すべてのψ⊋θ[ａ，ｂ]で　(ｘ，ｙ)∈ψ

ここで、θ[ａ，ｂ]の極大性より、
　ψ⊋θ[ａ，ｂ]　⇒　(ａ，ｂ)∈ψ
であるゆえ
　(ａ，ｂ)∈⋂ψ
である。

よって、(ａ，ｂ)∉θ[ａ，ｂ]であるから、
　θ[ａ，ｂ]≠⋂ψ
である。■

３．【注意１】０個の直積

一般に空集合Φから空でない集合Ｓへの写像
　ｆ：Φ→Ｓ
とは、包含写像
　ｆ：Φ⊂Ｓ
と考える。

写像といっても、その機能するところは「何もしない」。空集合Φは元が無い集合から「何も写さない」という写像である。

直積集合ΠＡ(γ)（γ∈Γ）の元は写像
　Γ→⋃Ａ(γ)
　γ↦ａ(γ)
である。０個の直積というのは、添え字集合Γが空集合Φのときをいう。従って上のことから包含写像：
　Φ⊂⋃Ａ(γ)
のみとなり、元はこの包含写像１点のみである。

４．【注意２】ツォルンの補題

ある条件を満たす順序集合において、「極大元の存在」を保証する定理である。「補題」という言い方をしているのは慣例である。

【定理（ツォルンの補題）】
空でない順序集合Ｓについて、Ｓの任意の空でない全順序部分集合が上界をＳに持てば、Ｓは極大元をもつ。

全順序部分集合を単に鎖ということもある。全順序部分集合とはどの２元も比較可能であるような部分集合であるから、Ｓの元たちがＳの順序でちょうど「鎖」のように一本に連なっている。

ツォルンの補題の条件文は、順序集合Ｓから好きに一本の空でない鎖を引っこ抜いてきたとき、Ｓの中にその鎖のどの元よりも大きいか等しい元が必ずあることを要求している。

この「Ｓの任意の空でない全順序部分集合が上界をＳに持つ」という性質を上に帰納的であるといわれる。

従って、この言葉を使えばツォルンの補題は、
　「上に帰納的な空でない順序集合には、極大元が存在する。」
となる。

「ツォルンの補題」は定理として書いたが、集合論の公理系をどのように選んでいるかによる。そのレベルの話であるので、我々は「証明」せずこれを公理とする立場にいよう。

５．【注意３】第２同型定理（合同束）

第２同型定理は以下の記事でみた：

【第２同型定理】
Ａ代数系とする。２つのＡ上の合同関係θ，ψがθ⊂ψを満たすとき、
　(Ａ／θ)／(ψ／θ)　≅　Ａ／ψ
である。
ただしψ／θは(Ａ／θ)上の以下で定義される合同関係である：
　ａ／θ（ψ／θ）ｂ／θ　⇔　ａψｂ　（ａ，ｂ∈Ａ）

これを合同束の言葉で言い換えて、定理として記述しておこう。

Ａ上の合同関係θを固定したとき、θ以上のＡ上の合同関係全体を
　Con(Ａ；⊃θ)＝{ψ∈Con(Ａ)｜ψ⊃θ}
とおく。

第２同型定理より、
　Con(Ａ；⊃θ)　→　Con(Ａ／θ)
　　　　ψ　　　↦　　ψ／θ
が定まり、この対応が全単射で、包含関係を保つ。

即ち、束として同型であることを言っている：

【第２同型定理（合同束）】
Ａを代数系とする。θをＡ上の任意の合同関係とするとき、
　Con(Ａ；⊃θ)　≅　Con(Ａ／θ)　　（束同型）
　　　　ψ　　　↦　　ψ／θ
である。
ただしψ／θは(Ａ／θ)上の以下で定義される合同関係である：
　ａ／θ（ψ／θ）ｂ／θ　⇔　ａψｂ　（ａ，ｂ∈Ａ）