同値（合同）関係の直積（２）

今回は前回『同値（合同）関係の直積』において「心」で定義したものを、証明によってうまく定義されていることを念のために確認してみようという話である。

証明を与えるのは単に技術上の話に過ぎない。しかし「証明」が本当に与えられることを確認しないと、心と数学がうまく両立していない場合にあとで痛い目に合ってしまう。自明であるなら証明があるだろうから、証明を与えようということである。

１．定式化

Ａ上の合同関係θと、Ｂ上の合同関係ψがあるとき、Ａ×Ｂ上の合同関係θ×ψ：
　(ａ，ｂ)θ×ψ(ａ’，ｂ’)　⇔　ａθａ’　かつ　ｂψｂ’
が定義されることを前回みた。

このＡ×Ｂ上の合同関係θ×ψの心としては、Ａ上ではθの意味で合同で、Ｂ上ではψの意味で合同であるような、「同時に」満たす関係として引き継がれるように構成したはずである。

従って直積Ａ×Ｂをこの合同関係で割った商代数
　(Ａ×Ｂ)／(θ×ψ)　･･･（１）
は、Ａの成分ではθとして、Ｂの成分ではψとして同時に合同となる元同士を同一視したものであるはずである。

この概念がうまく定式化されていること確かめよう。即ち、心にあった構成の順番と一致することをみよう。

Ａ上の合同関係θ、Ｂ上の合同関係ψがあるということは、それぞれの商代数
　Ａ／θ，Ｂ／ψ
が引き起こされるのであった。従って、その直積：
　(Ａ／θ)×(Ｂ／ψ)　･･･（２）
はＡではθとして合同な元を同一視し、Ｂではψとして合同となるような元を同一視したものの組である。

上記の（１）と（２）は出来上がる代数系の作り方（構成の順序）が違う。これらが互いに同型であることを確認すればよい。

２．同型の証明

同型であることを形式的に証明するために、「準同型定理」を使ってみよう。準同型定理は以下の記事で説明したのでここでは割愛する。

まず直積から成分への射影（全射準同型）ｐ，ｑを定める：
　ｐ：Ａ×Ｂ→Ａ，(ａ，ｂ)↦ａ
　ｑ：Ａ×Ｂ→Ｂ，(ａ，ｂ)↦ｂ

次に、商代数への自然な全射準同型π，ρを定める：
　π：Ａ→Ａ／θ，ａ↦ａ／θ　（ａのθによる同値類）
　ρ：Ｂ→Ｂ／ψ，ｂ↦ｂ／ψ　（ｂのψによる同値類）

よって、これらを繋げた全射準同型写像
　π◦ｐ：Ａ×Ｂ→Ａ→Ａ／θ，(ａ，ｂ)↦ａ↦ａ／θ
　ρ◦ｑ：Ａ×Ｂ→Ｂ→Ｂ／ψ，(ａ，ｂ)↦ｂ↦ｂ／ψ
がある。

さらに直積写像
　(π◦ｐ)×(ρ◦ｑ)：Ａ×Ｂ→(Ａ／θ)×(Ｂ／ψ)
　　　　　　　　(ａ，ｂ)↦(ａ／θ，ｂ／ψ)
が生じる。これも全射準同型である。

今、この直積写像をｆとおく：
　ｆ＝(π◦ｐ)×(ρ◦ｑ)

この全射準同型ｆ：Ａ×Ｂ→(Ａ／θ)×(Ｂ／ψ)が引き起こす合同関係を～とする：
　ｘ～ｙ　⇔　ｆ(ｘ)＝ｆ(ｙ)　
　（ｘ，ｙ∈Ａ×Ｂ）

このとき、準同型定理によって
　(Ａ×Ｂ)／～　≅　(Ａ／θ)×(Ｂ／ψ)
である。合同関係～を調べてみよう。

Ａ×Ｂの２元をｘ＝(ａ，ｂ)，ｙ＝(ａ’，ｂ’)とおく。
　ｘ～ｙ　⇔　ｆ(ｘ)＝ｆ(ｙ)
　　　　　⇔　(ａ／θ，ｂ／ψ)＝(ａ’／θ，ｂ’／ψ)　
　　　　　⇔　ａ／θ＝ａ’／θ，ｂ／ψ＝ｂ’／ψ
　　　　　⇔　ａθａ’，ｂψｂ’
　　　　　⇔　(ａ，ｂ)θ×ψ(ａ’，ｂ’)
　　　　　⇔　ｘθ×ψｙ

よって、合同関係～は、合同関係θ×ψに等しい。

従って上の同型は、
　(Ａ×Ｂ)／(θ×ψ)　≅　(Ａ／θ)×(Ｂ／ψ)
である。なお元としての対応は、
　(ａ，ｂ)／(θ×ψ)　↦　(ａ／θ，ｂ／ψ)
である。