【探究】数列の和は因数分解形？

リンクの公式の有用性を以下の問より探究したいと思う。

$${\underline{\underline{和 \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k^2-4k+3) を求めよ。}}}$$

という問であれば，

　$${\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k^2-4k+3)}$$

$${=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-4\cdot\frac{1}{2}n(n+1)+3n}$$

$${=\displaystyle\frac{1}{6}n\lbrace(n+1)(2n+1)-12(n+1)+18\rbrace}$$

$${=\displaystyle\frac{1}{6}n(2n^2-9n+7)}$$

と解答するのかな？

　因数分解した方がよいのかもしれないが、因数分解する手間を考えると、因数分解しなくてもよいのではないだろうか。

　マーク試験の解答には因数分解形で書かれていたり、問題集等の模範解答もそうだったりするのかもしれないが、因数分解することを求めているであれば、次のような問いにしてほしい。

$${\underline{\underline{和 \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k-1)(k-3) を工夫して計算し因数分解形で答えよ。}}}$$

　$${\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k-1)(k-3)}$$

$${=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\lbrace(k-1)k-3(k-1)\rbrace}$$

$${=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\lbrace k(k+1)-3k\rbrace}$$

$${=\displaystyle\frac{1}{3}(n-1)n(n+1)-3\cdot\frac{1}{2}(n-1)n}$$

$${=\displaystyle\frac{1}{6}n(n-1)\lbrace2(n+1)-9\rbrace}$$

$${=\displaystyle\frac{1}{6}n(n-1)(2n-7)}$$

　以上のように、連続する２整数の和と自然数の和の公式を利用して工夫する解答も見られると思う。また、公式の有用性の理解にもつながるのではないだろうか。