Wilsonの定理〈龍孫江の群論道具箱〉

　龍孫江の群論道具箱では，ただいま部分群への共役作用の観察の真っ最中ですが，今回１回だけお休みして，初等整数論の有名な定理を群論的視点で証明したいと思います．

https://youtu.be/vJ5o_2fbPT4

定理（Wilsonの定理）

整数$${p > 1}$$に対し

$${p}$$が素数$${\iff}$$$${(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}}$$．□

証明．$${(\Leftarrow)}$$ 対偶を証明します．$${p}$$が合成数のとき，$${1, 2, \ldots, p-1}$$のうちに$${p}$$の素因数$${q}$$が存在します．このとき$${ (p-1)!}$$と$${p}$$はともに$${q}$$の倍数なので，$${(p-1)! + 1}$$は$${q}$$では割り切れず，特に$${p}$$でも割り切れません．

$${(\Rightarrow)}$$ $${p=2}$$のときは$${(p-1)! = 1 = -1 \pmod{2}}$$ゆえ示すことはありません．$${p \ge 3}$$とすると，$${p}$$元体$${\mathbb{F}_p}$$の単元群$${\mathbb{F}_p^\times}$$において

$${x = x^{-1} \iff x^2 = 1 \iff x=1}$$か$${x = p-1}$$

が成り立ちます（最後の同値についてはこちらの記事もご覧ください）．そこで，$${\{2, 3, \ldots, p-2}$$を

$${a_1}$$と$${a_1^{-1}}$$，$${a_2}$$と$${a_2^{-1}}$$，$${\ldots}$$，$${a_s}$$と$${a_s^{-1}}$$

と互いに逆な要素の組に分けると，$${\mathbb{F}_p}$$において

$${(p-1)! = 1 \times (-1) \times (a_1a_1^{-1}) \cdots (a_sa_s^{-1}) = -1}$$

であり，これを$${\mod p}$$での合同式に書き直せば

$${ (p-1)! \equiv -1 \pmod{p}}$$

が得られます．〈終〉