群の中心〈龍孫江の群論道具箱〉

　群の共役作用を導入し，これを用いて群の性質を調べようとしています．作用があれば，固定化群として出てくる部分群が何かしら興味深い性質を握っているものです．

https://youtu.be/NI8WA9oATh0

　群$${G}$$の共役作用$${g \cdot x := gxg^{-1}}$$の固定化群を考えます．

$${gxg^{-1} = x \iff gx = xg}$$

と変形すると，

• 左側：$${x}$$が$${g}$$の共役作用で不変である

• 右側：$${x}$$と$${g}$$は可換である

となります．またここから，$${x \in G}$$の固定化群は

$${Z_x = \{ g \in G \mid gx = xg \}}$$

と表されます．これを$${x}$$の中心化群といいます．中心化群$${Z_x}$$は固定化群の一種なので，一般論によって部分群であることが保証されています．