軌道と固定化群〈龍孫江の群論道具箱〉

　群$${G}$$が集合$${X}$$に作用するとき，各$${x \in X}$$に対して軌道$${G \cdot x}$$と固定化部分群$${G_x}$$という２つの集合が定まります．今回は，この両者の間にある華麗な関係を紹介します．

https://youtu.be/2TeJnVXH-YY

　今回の話を通して，群$${G}$$は集合$${X}$$に作用するとします．

定理（xをyに写す作用の全体）

$${g_0 \in G}$$および$${x, y \in X}$$が$${g_0 x = y}$$をみたすとき，

$${\{ g \in G \mid y = gx \} = g_0 G_x = G_y g_0}$$．□