対称群の共役類〈龍孫江の群論道具箱〉

　置換の型を導入して，対称群の共役類を求める準備が整いました．次数の低い対称群について計算してみましょう．

https://youtu.be/fPHl3DlT8R0

総論

　置換の共役作用の公式をよく見ると，対称群においては

$${\sigma}$$と$${\tau}$$が共役$${\iff}$$$${\sigma}$$と$${\tau}$$の型が等しい

が成り立ちます．また，対称群に限らずその部分群においても互いに共役な置換の型は一致するので，対偶をとって

型が等しくない置換は（どんな置換群でも）共役ではない

とも言えます．ここから，置換群の共役類を計算するときにはまず型で分けてから，さらに分割されるかを考えていくことが多いです．