転倒数の範囲〈龍孫江の群論道具箱〉

　置換を平面的なあみだくじで表示，すなわち隣接互換の積に分解するとき，いくつ隣接互換があれば足りるかが問題でした．ひとつの候補として「転倒数」を導入し，今回と次回でこれが求める値であることを示します．

https://youtu.be/kc3yI2PJVoM

定理（転倒数の範囲）

$${\sigma \in \mathfrak{S}_n}$$に対し，$${0 \le \operatorname{inv} \sigma \le \frac{1}{2} n (n-1)}$$．また
(1) $${\operatorname{inv} \sigma = 0 \iff \sigma = 1}$$．
(2) $${\operatorname{inv} \sigma = \frac{1}{2} n (n-1) \iff \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ n & n-1 & \ldots & 1 \end{pmatrix}}$$．
(3) $${\operatorname{inv} \sigma = 1 \iff}$$$${\sigma}$$は隣接互換である．□