巡回置換〈龍孫江の群論道具箱〉

　置換，すなわち対称群の共役作用がきれいに記述できました．これを見ると，共役類もきれいに書き下せるのではと期待してしまいます．今回からしばらく，対称群の共役類分解を目指して，置換の計算や性質について述べていきます．

https://youtu.be/cmlwe91SuB0

定義（巡回置換）

$${k}$$個の数$${a_1, a_2, \ldots, a_k \in [n] = \{1, 2, \ldots, n\}}$$に対し，

$${\sigma(a_t) = a_{t+1} }$$（$${1 \le t < k}$$）
$${\sigma(a_{k} = a_1}$$
$${\sigma(x) = x}$$（$${x \ne a_1, a_2, \ldots, a_k}$$）

で定義される置換$${\sigma \in \mathfrak{S}_n}$$を$${k}$$次巡回置換といい，$${\sigma = (a_1~a_2~\ldots~a_k)}$$と表す．□