左作用と右作用〈龍孫江の群論道具箱〉

　前回，群の右作用を導入して，左右からの作用が出そろいました．今回は，これらの作用が互いに対等であることを示します．

https://youtu.be/qfScbe0wacg

定理（左作用と右作用）

$${G}$$を群，$${X}$$を集合とする．

(1) 左作用$${\lambda \colon G \times X \to X}$$に対し，

$${\rho_\lambda \colon X \times G \to X~;~(x, g) \mapsto \lambda(g^{-1}, x)}$$

は$${G}$$の$${X}$$への右作用である．

(2) 右作用$${\rho \colon X \times G \to X}$$に対し，

$${ \lambda+\rho \colon G \times X \to X~;~(g,x) \mapsto \rho(x,g^{-1})}$$

は$${G}$$の$${X}$$への左作用である．□