中心と共役作用〈龍孫江の群論道具箱〉

　共役作用による固定化群という観点から，中心化群，および中心を導入しました．この由来からもわかるように，共役作用は中心と密接な関係にあります．

https://youtu.be/Z0oOydrlzmU

定理（中心と共役作用）

群$${G}$$の要素$${g}$$に対し，以下は同値である：

(1) $${g \in Z_G}$$，すなわち任意の$${x \in G}$$に対し$${gx = xg}$$；

(2) $${\phi_g = \operatorname{id}_G}$$，ここで$${\phi_g}$$は$${g}$$が定める内部自己同型とする；

(3) $${Z_g = G}$$，ここで$${Z_g}$$は$${g}$$の中心化群とする；

(4) $${G(g) = \{g\}}$$，ここで$${C(g)}$$は$${g}$$を含む共役類とする．□