作用と置換群〈龍孫江の群論道具箱〉

　前回は群の作用を導入しました．その結果として，群の各要素の作用という全単射が得たわけですが，その写像の対応から話を始めましょう．

https://youtu.be/pwDNgaKGxLM

定理（作用と置換群）

群$${G}$$の集合$${X}$$への作用$${\lambda}$$を固定するとき，

$$
\Lambda \colon G \to \mathfrak{S}(X)~;~g \mapsto \lambda_g
$$

は群準同型である．

補足．$${\mathfrak{S}(X)}$$は$${X}$$の対称群で，全単射$${X \to X}$$の全体が写像の合成を演算としてなす群をいう．また，$${ \lambda_g}$$は$${g}$$の作用$${x \mapsto gx}$$を表す．