符号と演算〈龍孫江の群論道具箱〉
置換$${\sigma}$$の符号$${\operatorname{sgn} \sigma}$$を，転倒数を用いて$${\operatorname{sgn} \sigma = (-1)^{\operatorname{inv} \sigma} }$$と定義しました．今回は，符号が準同型と整合することを紹介します．
多項式環への作用
複素数$${\mathbb{C}}$$に係数を持つ多項式環（多項式全体の集合）$${\mathbb{C}[X_1, \ldots, X_n]}$$に，$${n}$$次対称群$${\mathfrak{S}_n}$$が変数の入れ替えによって作用します．
$${(\sigma \cdot f)(X_1, \ldots, X_n) = f(X_{\sigma(1), \ldots, X_{\sigma(n)}})}$$．
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