置換の図示に関する補足〈龍孫江の群論道具箱〉

　３次対称群の要素を巡回置換として表す動画の中で，それらの置換が「三角形の置き換えとして図示できる」と口走りました．今回はこの置き換えに関する補足です．

https://youtu.be/T5j-HyQn2xI

　３次対称群$${\mathfrak{S}_3}$$の各要素を，三角形の置き換えで表現します．一言で言いますが，考え方によって置き換えの仕方は変わっていきます．

　例として，置換$${(1~2~3) = (1~2)(2~3)}$$を考えましょう．互換$${(1~2)}$$と$${(2~3)}$$に対応する置き換えを合成すると，$${(1~2~3)}$$に対応する置き換えが得られるはずです．

案１　頂点の値を書き換えていく

　この方法では，三角形は次のように置き換えられていきます：

頂点の値を置換に沿って書き換える

　互換$${(2~3)}$$で，頂点２は３に，３は２に書き換えられます．つづいて互換$${(1~2)}$$で，頂点１を２に，２を１に書き換えたものが最も右の三角形で，最初と最後を比べると$${(1~2~3)}$$が右に120°の回転という置き換えに対応することがわかります．