不変元〈龍孫江の群論道具箱〉

　群の作用が与えられたとき，被作用集合はいくつかの軌道の非交叉和に分解されること（軌道分解）を紹介しました．そこで，軌道としてどんな集合が現れるかが気になるわけですが，ひとつの極端な場合として「１点集合からなる軌道」を特徴づけます．

https://youtu.be/fdN-mlFK0GY

　今回の話を通して，群$${G}$$が集合$${X}$$に作用するとします．

定義（不変元）

$${x \in X}$$が$${G}$$不変とは，すべての$${g \in G}$$に対して$${g \cdot x = x}$$が成り立つことをいう．$${X}$$の$${G}$$不変元の全体を$${X^G}$$のように表す．□