多項式の根とWilsonの定理〈龍孫江の環論道具箱〉

　前回，Wilsonの定理を証明しました．今回は引き続き，Wilsonの定理を環論的な考え方で考察してみましょう．今回の考え方の骨子は多項式の根の数です．

https://youtu.be/ktdRbgPYpG0

　有限体$${\mathbb{F}_p}$$の単元群$${\mathbb{F}_p^\times = \mathbb{F}_p \setminus \{ 0\}}$$は位数$${p-1}$$の（アーベル）群なので，すべての$${x \in \mathbb{F}_p^\times}$$に対し$${x^{p-1} = 1}$$です．これを整数の合同式に読み替えると，次の定理を得ます．

定理（Fermatの小定理）

$${p}$$を素数とする．整数$${x \in \mathbb{Z}}$$が$${p}$$の倍数でなければ

$${ x^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.}$$ □

　Fermatの小定理は，$${\mathbb{F}_p^\times}$$の各点が$${\mathbb{F}_p}$$上の多項式$${T^{p-1} - 1 \in \mathbb{F}_p[T]}$$の根であることを示しています．$${\mathbb{F}_p}$$は整域なので，この多項式$${T^{p-1}-1}}$$の根はたかだか$${p-1}$$個です．つまり$${\mathbb{F}_p^\times = \{ 1, 2, \ldots, p-1 \}}$$で根は尽きているのです．イニシャル係数を合わせて考えると

$${T^{p-1} - 1 = (T-1) (T-2) \cdots (T-p+1)}$$

と分解されます．両辺の定数項（または$${T = 0}$$を代入した値）を比較すると

$${-1 = (-1) \times (-2) \times \cdots \times (-p+1) = (-1)^{p-1} \times (p-1)!}$$

となります．$${p}$$は素数なので$${(-1)^{p-1} = 1}$$で，

$${\mathbb{F}_p}$$においては$${ (p-1)! = -1}$$

を得ます．これを整数の合同式に読み替えると，Wilsonの定理を得ます．

定理（Wilsonの定理）

素数$${p}$$に対し，$${(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}}$$．□