積分 ∫ について
上の青い線で囲まれた台形の面積を
「積分」を使って求めると次のようになります。
計算すると、27/2 になります。
公式に当てはめれば、さほど難しい計算ではありません。
一般に、上のような y = f (x) の a≦x≦b における面積S は、
f (x) の原始関数をF (x) とすれば、
S = F (b)－F(a) と表すことができます。
意味はわからなくても、公式として覚えておけば、面積を計算することはできます。
しかし、公式の意味を理解しておかないと、
S = F (b)－F(a) のような引き算が出てくる理由がわかりません。
この記事では、S = F (b)－F(a) の引き算の意味を考えてみます。
上グラフのように、点O, A, B, C, D, E, G をとります。
それぞれの座標は
O ( 0, 0 ) , A ( 3, 0 ), B ( 6, 0 ), C ( 6, 6 ),
D ( 3, 3 ) , E ( 0, 3 ), F ( 3, 6 ) , G ( 0, 6 )
です。
このとき台形ABCDの面積Sは、
△OBC － △OAD 、になります。
S = △OBC － △OAD
= 四角形OBCG÷２ － 四角形OADE÷２
= ６✕６÷２－ ３✕３÷２
= 27/2
最初に書いた積分の計算過程と比較してみてください。
一般に、y = f (x) のa≦x≦b 区間とＸ軸とに挟まれた図形の面積は、
その原始関数を F (x) とすれば、
F(b) － F(a) を計算すると求められます。
しかし、なかなか直感的には分かりにくいので、今回は単純な一次関数で考えてみました。
積分のベーシックな考え方は、
定義域(a≦x≦b)を等分に分割して、長方形の和としてみる、というものです。
例えば△OBCの面積ならば、
△OBC ≒ 四角形OADE + 四角形ABCF のように。
区間を二等分して四角形の和を足すだけだと、さすがに誤差が大きいですが、三等分、四等分というように、細かく分割して長方形の面積を足し合わせていけば、どんどん近似していきますね。
ザックリとした説明なので、正確さに欠くところがありますが、積分のイメージとしてはこんな感じです。
https://note.com/piccolotakamura/m/m7a098a50fcd4
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