中学数学 | 正多面体が５つしかない理由
正多面体は、五種類しかないことが知られています。
きちんとした証明は、リンク先を眺めていただくとして、この記事ではザックリと説明してみたいと思います。
https://manabitimes.jp/math/899
正多面体とは、正三角形なら正三角形だけで作られるような多面体のことです。
この記事では、条件を２つだけ設定して考えてみます。
まず正多面体の１つ頂点に集まる正多角形の数ですが、多面体とは立体ですから、少なくても「３つ以上」の多角形が集まらなければなりません。２つ以下の場合は立体になりません。
ということで、１つ目の条件は、
①正多面体１つの頂点に集まる正多角形の数は３つ以上である。
もう１つの条件は、正多面体の１つの頂点に集まる正多角形の角度の和は、360度より小さいことです。
角度の和が360度になると、平面になってしまうからです。
ということで、２つ目の条件は、
②正多面体の１つの頂点に集まる正多角形の角度の和が360度より小さい。
以上の２つの条件で考えてみましょう。
(A)正三角形の場合。
正三角形の１つの角は60度ですね。
正多面体の１つの頂点に集まる正多角形の数は３つ以上なので、まず３つの場合を考えてみます。
60✕３＝180 ＜360
これは条件を満たしています。
60✕４＝240 ＜360
これも条件を満たしています。
60✕５＝300＜360
これも条件を満たしています。
しかし、60✕６＝360なので、これ以上大きな数は条件を満たしません。
ということで、１つの面が正三角形である正多面体の数は３つになります。
同様に「正方形」の場合を考えてみましょう。
(B)正方形の場合。
正方形の１つの角は90度です。
90✕３＝270＜360
これは条件を満たしています。
90✕４＝360なので、４以上はありえません。
ということで、正多面体の１つの面が正方形であるのは１つだけです。
これは言うまでもなく、正六面体、つまり、正立方体(サイコロ🎲)です。
次は正五角形の場合を考えてみましょう。
(C)正五角形の場合。
正五角形の１つの角は、108度です。
108✕３＝324
これは条件を満たしています。
108✕４＝432＞360 なので、条件を満たしません。
ということで、１つ面が正五角形である多面体は１つだけになります。
正六角形の１つの角は、120度ですが、
120✕３＝360になってしまい、条件を満たすものは１つもありません。
よって、正多面体の数はぜんぶで５つということになります。
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