#青ブラ数学部 | お題 | 恒等式の問題
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お題 :
恒等式の問題を解くときに、「微分代入法」を用いるのは邪道か？
肯定の立場、否定の立場を明確にした上で、ご意見をお書きください。
形式は自由です。
なお、「微分代入法」という言葉は私の造語ですので、下の記事をご覧ください。
恒等式(identity)とは、どんな場合も常に成り立つ式のこと。
数学の問題としては、「次の式が恒等式のとき、a, b, c の値を求めよ」みたいに出される。
解き方には、係数比較法と数値代入法とがある。
この記事では数値代入法について書きたい。
係数比較法・数値代入法に関してこちら
恒等式の場合、どんな数値を代入しても左辺と右辺が等しくなるから、適当な値を代入できる。
一般的に、次数が高くなると計算が厄介になる。
たとえば２次式ならば、２乗すれば良いが、３次式だと３乗、４次式だと４乗しなければならない。
だから、数値代入法で恒等式の問題を解く場合、何乗しても値の変わらない「０」や「１」を代入することが多い。どのような数字を代入してもいいのなら、計算が楽にできるほうがいいからだ。
一般的に小さい数字のほうが計算しやすいから、「０」「１」を代入するだけで足りなければ、「２」「３」…辺りを順に代入いくことを考えるだろう。
数値代入法では、係数比較法とは違って、答えが出ても十分な条件とは言えないから、厳密には出した答えが確かに恒等式を成り立たせるかどうか確認する必要がある。
それはさておき、記述式の問題でない限り、試験では答えが出ればそれでいいという考え方もあるだろう。
私が思うに、次数が高くて計算が面倒ならば、次数を下げてしまえばいい。
次数を下げる簡単な方法は、両辺を微分してしまうことである。
一度微分するごとに、次数は１つ下がる。微分を繰り返すほど次数が下がる。
私は累乗の計算が面倒なときは、両辺を微分してから「０」なり「１」なりを代入すればいいと思うのだが、私が見た範囲において、そういう解き方をしている参考書はなかった。
両辺を微分してから代入するという解き方は邪道なのだろうか？
答えを出すだけなら、今のところ「微分代入法」(私の勝手な造語)で解いて間違ったことはないのだが…
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