お姉さんと一緒に三角形の面積を考えましょうか👩？
問題
下のグラフの△OABの面積を考えてみましょうか？
数学アレルギーがある方もいらっしゃるかもしれませんが、
底辺の長さが「１」、高さが「１」の三角形の面積を求めるだけですから、難しく考えないでくださいね👩。
解法１ 公式に当てはめる
三角形の面積は、
底辺✖️高さ➗２だから、
△OAB ＝１✖️１➗２＝1/2。
答え…1/2
簡単ですね。答えは「２分の１」になります。
答えを求めるだけなら、小学生の算数の問題です👩。
じゃあ、だんだん難しく考えてみましょうか👩？
なんで？、なんて言わないでね👩。
算数とか数学ってね、答えがわかるだけじゃ、つまらないのよね。
ほかに解法がないか、考えてみましょうか👩？
解法２ 積分を使う ∫👩dx
なんで求められるの？、ということはさておき、これも解き方を知ってる人には「１足す１はなに？」くらい簡単に求められます👩。
y = x の定義域(0≦X≦1)を積分すればいいだけね👩。
当然なんだけど、さっきの答えと同じになりましたね👩。
まあ、教科書通り、当てはめれば、これもさほど難しくはないはず👩。
高校数学だけど、初歩の初歩です。
じゃあ、もう少しだけ、「難しく」考えてみましょうか？
解法３ 小さな長方形で覆う。
発想それ自体は小学生の算数みたいなものかな👩。
一気に三角形の面積を求めるのではなく、こんなふうに考えてみましょう👩。
たとえば、線分ＯＡを２等分してみましょう。
そして青い２つの長方形の面積を足し算してみましょう👩。
２つの長方形の面積の和を求める💓
青い部分の長方形の面積の「和」は、
1/2 × 1/2 + 1/2 × 1
＝1/4 + 1/2
＝3/4
ということで４分の３。
だけど、もっと△OABの面積に近づけるならば、線分ＯＡを３等分したほうが良さそうですよね。
今度は線分ＯＡを３等分して、３つの長方形の「和」を求めてみましょうか👩？
３つの長方形の和を求める💓
1/3 × 1/3 + 1/3 × 2/3 + 1/3 ×3/3
＝1/9 + 2/9 + 3/9
＝6/9
＝2/3
ということで３分の２になりましたね👩
このようにして、線分ＯＡをより細かく等分していって、それと同じ数の長方形の和を求めていけば、どんどん△OABの面積に近づいていきそうですよね👩。
お時間のある方は、
４等分して
４つの長方形の和を求めたり、
５等分して
５つの長方形の和を求めてみてくださいね👩。
さらにお話を進めますね。
線分ＯＡをｎ等分するとどうなるでしょうか？
こんな感じになります。
先ほどの「２等分」と「３等分」の式と見比べながら、お読みくださいね👩
ｎ等分したときのｎ個の長方形の和は
次のような式になります👩。
1/n × 1/n + 1/n × 2/n + 1/n × 3/n + •••
••• + 1/n × (n－1)/n + 1/n × n/n
ごちゃごちゃっとしているので
共通因数をくくり出すと次のようになります。
ここで、括弧の中は、
等差数列の和の公式を使えば
n(n+1)/2になりますね👩。
結局、次のような式になります。
ここで、
ｎ→∞ とすれば
1/n →０ になるから、
無限に線分ＯＡを等分して
それと同じ数の長方形の面積を足せば
1/2 になります。
結び
三角形の面積を求めるのに、微分積分とか、数列を使うことはまずありませんが、たかが三角形の面積を求めるのにも、いろいろな考え方があるよ、ということを伝えたくてこの記事を書きました。
画面上ではちょっと分かりにくかったかもしれませんが、実際にご自分の手を使って計算してみると良いと思います。
以上、「お姉さんと一緒に三角形の面積を考えましょうか👩？」でした。
ちなみにですが、今回の記事の考え方は、放物線とＸ軸で囲まれた面積を求めるときにも使える考え方です。
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お時間があるときに読んでみてね👩
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