「わたしは字が下手で、手紙を書きません」はどうしてだめなの？

【 ご質問 】

みんなの日本語標準問題集３９課　６（３）について質問です。

（３）わたしは字が下手で、（手紙を書きません、恥ずかしいです）。

の解答は、恥ずかしいです　ですが、他の教師からどちらとも正解ではないのか？と指摘をうけました。

わたしは字が下手（なので）手紙をかきません。

が正しい文だと思いますが具体的な説明ができません。

よろしくお願いいたします。

【 ご返事 】

まず、「手紙を書きません」は