確率論#1

確率空間を論じていくために確率を考える対象、つまり可測空間をまず定義します。高校数学までであれば有限集合を対象にしていましたが、もちろんそれだけでは考えられないことも出てきます。そこで素直に成り立って欲しい性質を無限集合で集めたものが$${\sigma}$$-加法族(集合体とも言う。)になります。

定義1.1 
$${\mathcal{F}}$$を$${\Omega}$$の部分集合の全体とする。次の3つを満たす集合族$${\mathcal{F}}$$を$${\Omega}$$の$${\sigma}$$-加法族と言う。
(1)$${\Omega\in\mathcal{F}}$$
(2)$${A\in\mathcal{F}}$$ならば$${A^c\in\mathcal{F}}$$
(3)$${A_i\in\mathcal{F}(i=1,2,\cdots)}$$ならば$${\displaystyle{\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\in\mathcal{F}}}$$

また、この2つの組$${(\Omega,\mathcal{F})}$$を可測空間と言う。