【数学】マクローリン展開と高校数学

対象：理系　定期試験以上

微分の近似のお話の延長です

近似のお話の最後で　無限級数にすると　厳密に一致する
というお話をしました
特に　$${x\fallingdotseq 0}$$　におけるテーラー展開を
マクローリン展開　と言います
今回は　それについてお話します
実際　代表的なマクローリン展開は次のようになります

いずれも　第2項，第3項あたりまでは　不等式問題の背景として頻繁に出題されます(特に最初の3つはたくさん出る)

また　各式で$${x}$$に何か代入すれば
ある値と　無限級数の極限が一致するということになります

さて　このマクローリン展開から学ぶべきことは何かというと
関数混合型の方程式の解　です

例えば　$${\sin x = \dfrac{2}{\pi}x}$$　などというものは
グラフを考えると交点の$${x}$$座標が　$${x=0，\ \pm \dfrac{\pi}{2}}$$　というのがわかります
このような解は　ある意味明らかな解ともよべるものです

$${e^x-1=2x}$$　も$${x=0}$$という明らかな解があります
明らかな解が問われることはあります
しかしそうではない解については　「求めることができない」 ということを理解しておく必要があります
$${e^x-1=2x}$$　はもう1つ解がありますが　求められません
したがって　そのような解を求めよ　という問題は当然出題されませんし
解こうとしてはいけない　ということです
関数の種類が違うから　解けないんですよ
それは　マクローリン展開からもわかる通り
無限級数で表された方程式を解こうとしていることなんで・・・
ですから　「解を求めよ」なのか「解の個数を求めよ」なのか
そういったところを読み取る必要があります

ところが　その解けない方程式の解を　解けないので一時的に文字で置くことはあります

ということで　マクローリン展開　のお話でした