Diophantine equation 24

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(13/2/2024)}$$
$${Latest}$$  $${additions}$$  $${(13/2/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${23}$$
$${(24.1)}$$  $${~~~\sum\limits_{i=1}^4\ a_i^7}$$ $${=}$$ $${\sum\limits_{j=1}^4\ b_j^7}$$
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$${case(24.1)}$$  $${~~~\sum\limits_{i=1}^4\ a_i^7}$$ $${=}$$ $${\sum\limits_{j=1}^4\ b_j^7}$$

まず次の様におく。
$${a_1=~~~x_1-x_2-x_3~,~b_1=~~~y_1-y_2-y_3}$$
$${a_2=-x_1+x_2-x_3~,~b_2=-y_1+y_2-y_3}$$
$${a_3=-x_1-x_2+x_3~,~b_3=-y_1-y_2+y_3}$$
$${a_4=~~~x_1+x_2+x_3~,~b_4=~~~y_1+y_2+y_3}$$

計算すると次の恒等式がわかる。
$${~~~\sum\limits_{i=1}^4\ a_i}$$ $${=}$$ $${0~~~}$$ $${,~~~\sum\limits_{i=1}^4\ a_i^3}$$ $${=}$$ $${24x_1x_2x_3}$$

$${\begin{aligned}\footnotesize~~~\sum\limits_{i=1}^4\normalsize\ a_i^7&=56x_1x_2x_3\big\{3\big(x_1^4+x_2^4+x_3^4\big)\\&+10\big(x_1^2x_2^2+x_2^2x_3^2+x_3^2x_1^2\big)\big\}\end{aligned}}$$

ここでもし$${~~x_1x_2x_3=y_1y_2y_3~~}$$なら
$${\small 3\big(x_1^4+x_2^4+x_3^4\big)+10\big(x_1^2x_2^2+x_2^2x_3^2+x_3^2x_1^2\big)=}$$
$${\small 3\big(y_1^4+y_2^4+y_3^4\big)+10\big(y_1^2y_2^2+y_2^2y_3^2+y_3^2y_1^2\big)}$$

ここで次の様におく
$${x_1=p(x-q)~,~y_1=r(x-s)}$$
$${x_2=q(x-s)~,~y_2=s(x-q)}$$
$${x_3=~~~rs~~~~,~~~~~y_3=~pq}$$

$${\scriptsize(3p^4+10p^2q^2+3q^4−3r^4−10r^2s^2−3s^4)x^3\\−4(3p^4q+5p^2q^3+5p^2q^2s+3q^4s−5qr^2s^2−3qs^4−3r^4s−5r^2s^3)x^2\\+2(9p^4q^2+5p^2q^4+20p^2q^3s−5p^2q^2r^2+5p^2r^2s^2+9q^4s^2−9q^2s^4−20qr^2s^3−9r^4s^2−5r^2s^4)x\\−4(3p^4q^3+5p^2q^4s−5p^2q^2r^2s+5p^2qr^2s^2+3q^4s^3−3q^3s^4−5qr^2s^4−3r^4s^3)=0}$$

上記方程式の有理数解をコンピュータ検索すると、
$${4 ≤ (p + q + r + s) ≤ 400}$$の範囲で次の$${3}$$個の解が見つかっている。

$${(p,q,r,s,x)=(4,49,47,19,130)}$$
$${→(x_1,x_2,x_3)= (324,5439,893)}$$
$${→(y_1,y_2,y_3)=(5217,1539,196)}$$
$${\small1741^k+2435^k+3004^k+3476^k\\=1937^k+2111^k+3280^k+3328^k~,~k=1,3,7}$$

$${(p,q,r,s,x)=(35,24,90,189,10878/107)}$$
$${\small1523^k+4175^k+4492^k+5956^k\\=1951^k+3107^k+5528^k+5560^k~,~k=1,3,7}$$

$${(p,q,r,s,x)=(21,156,52,133,1820/47)}$$
$${\small344^k+902^k+1112^k+1555^k\\=479^k+662^k+1237^k+1535^k~,~k=1,3,7}$$
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$${1996}$$年$${\small RANDYL. EKL}$$により
小さい方から最初の$${2}$$個の解が見つかっている。
【最小解】
$${149^7+123^7+14^7+10^7\\=146^7+129^7+90^7+15^7}$$
【$${2}$$番目に小さい解】
$${194^7+150^7+105^7+23^7 \\=192^7+152^7+132^7+38^7}$$
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$${2024.2.13}$$現在
パラメータ解は未知の様です。
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$${REFERENCES}$$
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$${\small【 RANDYL. EKL】}$$
$${\footnotesize 「EQUAL~SUMS~OF~\\FOUR~SEVENTH~POWERS」}$$
$${\footnotesize MATHEMATICS~OF~COMPUTATION}$$
$${\small Volume~65, Number~216\\October~1996,~Pages~1755–1756}$$

$${\small 【AJAI~CHOUDHRY】}$$
$${\footnotesize 「EQUAL~SUMS~OF~SEVENTH~POWERS」\\ ROCKY~MOUNTAIN\\\footnotesize JOURNAL~OF ~MATHEMATICS}$$
$${\small Volume ~30,~Number~3,~Fall~2000,~p849-852}$$
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