東大　入試　数学

こんにちは
今日は東大の数学の問題をみていきたいと思います

問
座標平面上の放物線y=3x^2 -4xをCとおき
直線y=2xをlとおく　実数tに対しC上の点P(t,3t^2 -4t)とlの距離をf(t)とする

(1)
-1≦a≦2の範囲の実数aに対し
定積分g(a)=∫-1→a f(t)dtを求めよ

(2)
aが0≦a≦2の範囲を動くときg(a)-f(a)の最大値、最小値を求めよ

解
(1)
Pとlの距離は|2t -3t^2 +4t|/√2^2 +(-1)^2
=|-3t^2 +6t|/√5
=3|t^2 -2t|/√5
=3|t||t-2|/√5
より
f(t)=3 t t-2 /√5=3 t^2 -2t /√5 t≧2
        3 t -t+2 /√5=3 -t^2 +2t /√5  0≦t<2
        3 -t -t+2 /√5=3 t^2 -2t /√5 t<0

g(a)=∫-1→a f(t)dt

a<0のとき
g(a)=∫-1→a 3 t^2 -2t /√5
=1/√5 [t^3 -3t^2]a -1
=1/√5 (a^3 -3a^2 +4)

0≦a≦2のとき
g(a)=∫-1→0 3 t^2 -2t /√5 dt +∫0→a 3 -t^2 +2t /√5 dt
=1/√5 [t^3 -3t^2]0 -1 +1/√5 [-t^3 +3t^2]a 0
=1/√5 4 +1/√5 (-a^3 +3a^2)
=-a^3 +3a^2 +4 /√5

(2)
h(a)=g(a)-f(a)=-a^3 +3a^2 +4 /√5 - 3 -a^2 +2a /√5
=-a^3 +6a^2 -6a +4 /√5

h'(a)=-3a^2 +12a -6 /√5
=-3 a^2 -4a +2 /√5
a=4±√16-8/2
=2±√2でh'(a)は0となる

a      2-√2 2+√2
h'(a)  - 0 + 0 -

よりh(a)の最大値は
max h(0)=4/√5 h(2)=-8 +24 -12 +4 /√5=8/√5
=8/√5
最小値は
h(2-√2)=- 8 -3 4√2 +3 4 -2√2 +6 4-4√2 +2 -6 2-√2 +4 /√5
=-8 +12√2 -12 +2√2 +24 -24√2 +12 -12 +6√2 +4 /√5
=8 -4√2 /√5

となります
みてくれてありがとうございます