センター試験　数学

こんにちは
今日はセンター試験の数学についてみていこうと思います

a>0とし　f(x)=x^2 -(4a-2)x +4a^2 +1とおく
y=x^2 +2x+1をC　y=f(x)をDとする
lをCとDの両方に接する直線とする

lの方程式を求めよう
lとCは点(t,t^2 +2t+1)で接するとすると
lの方程式は
y=2t+2 (x-t) +t^2 +2t+1
y=(2t+2)x -t^2 +1　①

y'=2x+2

lとDは点(s,f(s))で接するとすると
lの方程式は
y=2s -(4a-2) (x-s) +s^2 -(4a-2)s +4a^2 +1
y=(2s -4a+2)x -s^2 +4a^2 +1　②
である

y'=2x -(4a-2)

ここで①と②は同じ直線を表しているので
2t+2=2s-4a+2
-t^2 +1=-s^2 +4a^2 +1

2t=2s-4a
t=s-2a

- s^2-4as+4a^2 =-s^2 +4a^2
-s^2 +4as -4a^2=-s^2 +4a^2
4as=8a^2
s=2a
t=0
よってlの方程式は
y=2x+1

CとDの交点のx座標は
x^2 +2x+1=x^2 -(4a-2)x +4a^2 +1
4ax=4a^2
x=a

Cとl、x=aで囲まれた図形の面積をSとすると
S=∫0→a x^2 +2x+1 -2x-1 dx
=a^3 /3

x^2 +2x+1=2x+1
x=0

みてくれてありがとうございます