センター試験　数学

こんにちは
今日はセンター試験の数学をみていきたいと思います
数学IIBです

(1)
0≦x<2πのとき
sinθ>√3cos(θ-π/3)
となるθの値の範囲を求めよ

解
sinθ>√3 cosθcosπ/3 +sinθsinπ/3
=√3 cosθ/2 +√3sinθ/2
=√3cosθ/2 +3sinθ/2
√3cosθ/2 +sinθ/2<0
√5 /2 sin(θ+π/3)<0
sin(θ+π/3)<0
よって
π<θ+π/3<2π
2π/3<θ<5π/3

(2)
tは正の実数であり
t^1/3 -t^-1/3=-3をみたす
このときt^2/3 +t^-2/3
t^1/3 +t^-1/3
t-t^-1
をもとめよ

解
t^1/3 -t^-1/3 =-3
両辺二乗して
t^2/3 +t^-2/3 =11

(t^1/3 +t^-1/3)^2 -2=11
なので
t^1/3 +t^-1/3=√13

t^1/3 -t^-1/3 =-3
両辺三乗して
t-3t^1/3 +3t^-1/3 -t^-1 =-27
t-t^-1=-36

(3)
log3(x√y)≦5　②
log81(y/x^3)≦1　③
について考える
X=log3 x　Y=log3 yとおくと
②は　2X+Y≦10　④
③は　Y/4 -3X/4≦1
よりY-3X≦4
3X-Y≧-4　⑤
このときYのとりうる最大の整数の値は
-6X-3Y≧-30
6X-2Y≧-8
-5Y≧-38
Y≦38/5=7.6
より7
またx,yが②、③、log3 y=7をみたすときxのとりうる最大の整数の値は
2X≦3
3X≧3 X≧1
より
1である

log81 y=log3 y /log3 81=log3 y /4
log81 x^3=log3 x^3 /log3 81=3log3 x /4

今回は以上です
センター試験らしい問題ですね