微分積分の問題

こんにちは
今日は数学の問題をあつかってみたいと思います

y=e^x^2 -1 x≧0 をy軸のまわりに回転させてできる容器がある　この容器に時刻tにおける水の体積がvtとなるように単位時間あたりvの割合で水を注入する　v>0である

(1)不定積分∫ln(y+1)dyをもとめよ
(2)水面の高さがhとなったときの容器内の水の体積Vをhを用いてあらわせ
(3)水面の高さがe^10 -1となった瞬間における水面の高さの変化率dh/dtをもとめよ

解
(1)
∫ln(y+1)dy
=yln(y+1)-∫y/y+1 dy
=yln(y+1)-∫ 1 -1/y+1 dy
=yln(y+1) - y -ln(y+1) +C
=yln(y+1) +ln(y+1) -y +C

y=y+1 -1
y/y+1=1 -1/y+1

(2)
V=∫y=0~h πx^2 dy
=π∫0~h ln(y+1) dy
=π[yln(y+1) +ln(y+1) -y]h 0
=π hln(h+1) +ln(h+1) -h
=π h+1 ln(h+1) -h

y+1=e^x^2
ln(y+1)=x^2

(3)
V(t)=π h+1 ln(h+1) -h=vt
dt/dh=π/v ln(h+1)+h/h+1 +1/h+1 -1
h=e^10 -1のとき
dt/dh=10π/v
dh/dt=v/10π

∫dh=∫v/10πdt
h=v/10π t+C
t=0のときh=0なのでC=0
h=v/10π t　h=e^10 -1のとき

あがとうございます